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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

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Wie Handballer Delta verstehen können

Nach einem anstrengenden Handball- und Fototag in Montpellier erholen sich Max und Rike am Abend. Max ist ziemlich geschafft. Heute mussten sie im Training bei einer Übung auf französische Art gegen eine Mauer aus 3 Kunststoffhandballern anrennen, möglichst drüber springen und dann auf die Latte werfen. Es hat dauernd geknallt. Das hat sich in ihm „festgesetzt“. Jetzt fragt er Rike, ob man so was messen kann.

Rike Hey Max, da hast du ja ein anspruchsvolles Thema! Solche Knaller sind sehr kurze Ereignisse und nur sehr aufwendig messbar. Tatsächlich werden sie eher verallgemeinert benutzt, um ihre Wirkung zu beschreiben und weniger um ihre Geometrie oder Werte selbst herauszufinden.

Max Was meinst du?

Paul Diracs Idee

Rike So etwas hat einen Namen: es ist eine „Dirac-Funktion“, obwohl es keine Funktion ist. Paul Dirac wollte zu Anfangszeiten der Atomphysik Elektronen u.a. Teilchen beschreiben. Er hat sie sich als Massen oder Ladungen vorgestellt, die in einem Punkt konzentriert sind. Wenn man nun die Masse oder Ladung als endlich annimmt, und die Massen- oder Ladungsverteilung in einem Gebiet integriert, wo nur diese Teilchen sind, dann wäre das 0, als wäre kein Teilchen drin.  Also klappt das nicht mit der Funktion. So kam ein neues Symbol, der Pfeil, zustande.

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Symbolische Darstellung von \(\delta\).

Aber die Wirkung der Masse oder Ladung soll endlich sein. So verlangte Paul Dirac

\(\int_{-\infty}^{\infty} \delta (x) dx = 1\)

Max Hmm. Warum bist du nicht zufrieden?

Rike Ich bewundere Paul Dirac. Seine Idee hat viel bewirkt. Sie hat erst die Mathematik angeregt, sich dem zuzuwenden, aber diese unglückliche Schreibweise hat sich in vielen Köpfen festgesetzt, \(\delta\) wird ohne Skrupel als Funktion benutzt und mit großem Trara werden Folgerungen daraus gezogen. Tatsächlich kann man diese Rechnungen nur als Symbolismus verstehen. Als Versuch, die Mathematik zu verstehen ...

Max Ok! \(\delta\) ist wirklich eine blöde Funktion!

Rike Ja, weißt du, hier in Frankreich gibt es eine große mathematische Schule. Laurent Schwartz hat die Theorie der verallgemeinerten Funktionen (Distributionen) entwickelt. Er war auch einer der Förderer von Grothendieck, der hier in Montpellier studiert und später selbst an der Uni unterrichtet hat. Beide haben die Fields-Medaille bekommen.

Verallgemeinerte Funktionen

Max Ja, ich hoffe, ich kann das verstehen, was sind nun verallgemeinerte Funktionen?

Rike Das sind Funktionen von Funktionen.

Max Wie bei der Fourier-Transformation?

Rike Nicht ganz, bei der Fourier-Transformation werden Funktionen auf andere Funktionen abgebildet:

\(\cal F: u \rightarrow \hat u.\)

Bei Distributionen werden verallgemeinerte Funktionen auf Funktionen angewendet und das Ergebnis ist eine reelle oder komplexe Zahl \(z:\)

\(\delta : u \rightarrow z\)

Max Und wie geht das bei \(\delta\)?

Die schwartzsche Definition von \(\delta\)

Rike Laurent Schwartz hat vorgeschlagen, dass \(\delta\), angewendet auf \(u\) den Funktionswert von \(u\) an der Stelle \(0\) ergibt:

\(\delta(u) = u(0).\)

Die Funktion \(u\) soll dabei aus einem geeigneten Funktionenraum kommen, zum Beispiel (absolut) integrierbar und differenzierbar. Aber das kannst du in einem Fachbuch nachlesen.

Max Naja

Rike Die Leute, die sich \(\delta\) unbedingt als Funktion vorstellen, und die Anwendung als Integral schreiben, kriegen so:

\(u(0) = \int_{-\infty}^{\infty}\delta (x) u(x) dx\)

Max Dann muss ja \(\delta (x) \) fast überall Null sein, nur in Null nicht.

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Vereinfachte, nicht korrekte Darstellung von \(\delta\) als Funktion.

Rike Ja, das ist die naive Vorstellung. So eine Anwendung funktioniert nur bei regulären Distributionen, und \(\delta\) ist gerade eine singuläre.

Max Ok, und wie weiter?

Rike Wenn man die schwartzsche Definition nimmt, kann man ganz viel damit anfangen. Es gibt sehr viele Eigenschaften, zum Beispiel kann man von einem Knall \(\delta\) sinnvoll mehrfache Ableitungen erklären.

Max Wo doch \(\delta\) gar keine Funktion ist?

Die Ableitungen von \(\delta\)

Rike Ja, das geht so. Die \(k\)-te Ableitung der verallgemeinerten Funktion \(\delta\) ist die verallgemeinerte Funktion, die \(\delta\), angewendet auf die \(k\)-te Ableitung einer Funktion ergibt, und dann kommt noch ein Vorzeichen hinzu, was ein bisschen an die partielle Integration erinnert, also

\((D^k \delta) (u) := (-1)^k \delta (D^ku)\)

Max Hmmm?

Rike Schau, die erste Ableitung ist dann

\((D\delta) (u) = - \delta (Du)\)

\(= - \delta (u')\)

\(= - u'(0)\)

Max Ok, verstehe.

Rike Und das Größte ist: man kann sogar eine Fouriertransformation von \(\delta\) sinnvoll erklären. Also die enthaltenen verallgemeinerten Frequenzen bestimmen.

Max Ja????

Die Fourier-Transformation von \(\delta\)

Rike Also, Schwartz schlug vor, die Fourier-Transformation \(\cal F\) von \(\delta\) angewendet auf \(u\) ist die verallgemeinerte Funktion, die \(\delta\), angewendet auf die Fouriertransformation \(\cal F\) von \(u\) ergibt. Das kann man so schreiben:

\((\cal F\delta)(u):=\delta(\cal F(u))\)

\(= \delta(\hat u) = \hat u(0) \)

\(=\int_{-\infty}^{\infty} u(x) e^{-2\pi i x 0} dx\)

\(=\int_{-\infty}^{\infty} u(x) \cdot 1 dx\)

Max Ok

Rike Die meisten Distributionen, also die sogenannten regulären werden in Integralform gegeben. Sagen wir mal, wir haben eine reguläre Distribution \(g\), dann kann man die als Integral schreiben:

\(g(u)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x) u(x) dx\)

Siehst du, was das für die Fouriertransformation von \(\delta\) bedeutet?

Max Ist doch klar, das ist die \(1\) als Distribution,

\((\cal F\delta)(u) =1 (u)\),

und

\(\cal F\delta =1\),

die ist nicht abhängig von einer Veränderlichen, sie enthält alle Frequenzen, das verstehen sogar Handballer!

* * *

Übungsaufgabe

Sei \(H(x)\) die Heaviside-Funktion:

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Die Heaviside-Funktion

Wenn man \(H\) als verallgemeinerte, reguläre Distribution versteht, und \(H\) auf geeignete, differenzierbare, schnell fallende Funktionen \(u\) wie folgt anwendet:

\(H(u)=\int_{-\infty}^{\infty}H(x)u(x)dx=\int_0^{\infty}u(x)dx\),

wie könnte man dann die Ableitung \(DH\) von \(H\) erklären?

Lösung

Wie bei der Dirac-Distribution:

\((DH)(u)=- H(Du)=-\int_0^{\infty}u'(x)dx\)

\(=-u(x)|_0^{\infty}=-u(\infty)+u(0)\)

\(=u(0)=\delta(u)\)

Das heißt,

\(H'=\delta\)

in distributivem Sinne.