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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

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Wie komplexe Zahlen Hologramme erklären

Max  fährt mit seiner Handballmannschaft in ein Trainingslager nach Frankreich. Rike kann mitkommen. Sie soll Fotos machen. Doch Rike kann im Bus nicht sitzend schlafen und hat sich auf eine Isomatte in den Gang gelegt. Am Morgen fühlt sie sich vom Vibrieren des Bodens ganz „zerschlagen“, aber plötzlich hat sie etwas verstanden. Sie hat von jungen Stuttgarter Physikern gelesen, die räumliche Muster mit winzigen Partikeln mittels Schwingung erzeugen können. Aber wie geht das?

Max Was haben die gemacht? Die Friedenstaube im Wasser simuliert?

Rike Haha! Warst du schon mal im Wellenbad? Weißt du, wie das funktioniert?

Max Na klar, in Herford. Hinter der Absperrung wird Wasser angesaugt und dann herausgedrückt.

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Flächige Wellenanregung

Rike Ja klar. Die Anregung ist da flächig, die entstehenden Wellen reflektieren sich mehrfach im Becken, es wirkt recht chaotisch. Die Stuttgarter haben auch eine flächige Anregung, können aber jeden Punkt auf der Fläche kontrollieren. Sie können von jedem Punkt eine Welle erzeugen.

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Max Wie geht das?

Rike Ungefähr wie bei einem Lautsprecher, es kommt ein elektrisches Signal und lässt eine Membran schwingen.

Max Ja, weiß ich, welche Frequenzen?

Rike Hier steht's: 2 MHz.

Max Schade, können wir nicht hören, Ultrasound.

Komplexe Zahlen in Normal-, Polar- und Exponentialform

Rike Der Trick ist aber, dass das Muster mit einer weiteren mathematischen Eigenschaft von Schwingungen erzeugt wird. Am besten kann man das mit komplexen Zahlen erklären:

Max Ok

Rike Jede komplexe Zahl in Normalform (mit kartesischen Koordinaten)

\(z = a + i\;b\)

kann man auch in Polarform

\(z = r\;(\cos \varphi + i\;\sin \varphi)\)

 

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oder in Exponentialform

\(z = r\;e^{\;i\varphi}\)

Diese Art der Darstellung wird in technischen Anwendungen Zeiger genannt.
Bei dieser sogenannten Zeigerdarstellung heißt die komplexe Zahl \(z\) Zeiger, \(\varphi\) ist ihre Phase.

geschrieben werden.

Max Was ist \(r\), was ist \(\varphi\)??

Rike \(r\) ist der Radius oder „Amplitude“,  \(\varphi\) der Winkel, das „Argument“ oder die „Phase“. Sie berechnen sich aus \(a\) und \(b\):

\(r = |z| = \sqrt {a^2 + b^2}\)

\(\varphi = \arg(z)= \arctan \frac{b}{a}\),

du musst dich nur um die Vorzeichen kümmern.

Max Ja, das gefällt mir.

Rike Wenn du die Exponentialform einer komplexen Zahl \(z\) mit ihrer Polarform gleich setzt, erhältst du die berühmte Eulerformel:

Eulerformel

\(z = r\;e^{\;i\varphi} = r\;(\cos \varphi + i\;\sin \varphi) = z\),

\(e^{\;i\varphi} = \cos \varphi + i\;\sin \varphi\)

Max Ja, hab ich schon mal mit \(\pi\) gesehen, fand ich sehr komisch:

\(e^{\;i\pi} = -1\)

Phasenverschiebung

Rike Ich find's toll. Die Stuttgarter konnten nun Schwingungen in einem Trägermedium erzeugen, wie im Wellenbad, aber außerdem konnten sie zu jedem Punkt \((x,y)\) der anregenden Fläche eine andere Phase \(\varphi_0(x, y)\) umsetzen:

\(z = r\;e^{\;i (\varphi+\varphi_0(x, y))}\)

Max Eine Phasenverschiebung? Wie beim Sound? Da kann sich was auslöschen oder verstärken.

Rike Stimmt. Wenn du die Kosinuswelle mit der um \(\pi\) verschobenen addierst, löscht sich alles aus. Um komplex heißt das:

\(e^{\;i (\varphi+\varphi_0(x, y))} + e^{\;i (\varphi+\varphi_0(x, y)+\pi) } = 0\)

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Jetzt muss man nur die Überlagerung von \(N^2\) Wellen berechnen, um für jeden Punkt \((x, y)\) im \(N\) x \(N\)-Gitter die richtige Phase \(\varphi_0(x, y)\) zu finden!

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Das Bild zeigt das Huygenssche Prinzip: An jeder der \(N\) x \(N\) Stellen werden Wellen erzeugt, die sich in alle Richtungen ausbreiten. So überlagern sich in jedem Bildpunkt mindestens \(N\) x \(N\) Wellen. Sie haben verschiedene Phasen.

Max Hey, wollen wir das auch mal probieren? Ist das ein Hologramm?

* * *

Übungsaufgaben

Bestimme die Polarform von \(1 - i\) und die Exponentialform von \(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2},\) \(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2},\) \(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Lösungen

\(\sqrt{2}\;(\cos (-\frac{\pi}{4}) +i\;\sin (-\frac{\pi}{4})), e^{\;i\pi/6},\) \( e^{\;i 5\pi/6}, e^{\;i 7\pi/6}, e^{-i \pi/6}\)