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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

49-titel-weihnachten

Wie Charlotte die Weltformel sucht

Rike und Max haben ihre Assassin's Creed-Weltreise-Bekanntschaften nach Lemgo eingeladen. Es gibt heute Abend Salate, Brot, Wasser und Wein. Rikes Mutter hat ein paar Täubchen gebraten. Charlotte ist aus Paris gekommen und erzählt, was nach dem Sommer passiert ist.

Charlotte Nach dem Sommer habe ich versucht, eine Weltformel zu finden. Eine Formel, die alles beschreibt. Ich habe eine Weile recherchiert, bis ich in einem Buch von Alain Badiou ein Antwort gefunden habe.

Max Und was ist die Antwort?

Charlotte Merde!

Max Was?

Charlotte Pass auf! Du versuchst, bestimmte Eigenschaften zu beschreiben, indem du Objekte mit diesen Eigenschaften zu einer Menge zusammenfasst.

Max Klar!

Charlotte Doch das klappt nicht!

Max Wieso?

Mengen und Eigenschaften

Charlotte Schau, wir nehmen die Eigenschaft \(E\): nicht Element von sich selbst zu sein, dafür schreiben wir

\(E_p (a) \leftrightarrow \lnot (a \in a)\)

Max Also keine Selbstreferenz?

Charlotte Stimmt, keine Selbstreferenz.

Max Klar! Was ist \(\lnot\)?

Charlotte Das ist die Verneinung, \(\lnot\) heißt nicht.

Max Klar! Was ist \(p\)?

Charlotte \(p\) steht für paradoxal.

Max Paradox?

Charlotte Oui, paradox.

Max Charlotte, wieso schreibst du

\(a\in a?\)

Geht das denn?

Die Zermelo-Fraenkel-Axiomatik

Charlotte Wir haben an der Ècole die Zermelo-Fraenkel-Axiomatik (ZFA) gehabt. Ich habe sogar vorgetragen. Es ist ein bisschen kompliziert, aber gut durchdacht. Da wird das in-der-Menge-Sein verallgemeinert:

\(a \in A\)

bedeutet, \(a\) ist in \(A\). Das kann als Element oder als Teilmenge sein.

Max Das gefällt mir!

Charlotte Jetzt bilden wir die paradoxe Menge \(M_p\) von allen Mengen, die diese Eigenschaft \(E_p\) haben, also

\(a\in M_p \leftrightarrow E_p(a) \leftrightarrow \lnot (a\in a)\)

Max Ok

Rike Irgendwie erinnert mich das an das russelsche Paradoxon: Man bildet eine Menge \(A\) durch die Beschreibung der Eigenschaften, die die Elemente von \(A\) haben, also zum Beispiel, nicht in \(A\) zu sein.

\(A:=\{a: a \notin A\}\)

Das Aussonderungsaxiom

Charlotte Ja, du hast recht. Das hat die ganze naive Mengenlehre in Frage gestellt. Aber mit der Zermelo-Fraenkel-Axiomatik sagen wir stattdessen, dass es eine Teilmenge \(N_p\) von \(M_p\) für alle Eigenschaften \(E\) gibt:

\(N_p \in M_p\)

und

\(a\in N_p \leftrightarrow E(a)\)

Rike Richtig, das Aussonderungsaxiom.

Die universelle Menge \(U\)

Charlotte Ja. Jetzt kommt die Idee, eine universelle Menge \(U\) zu definieren, also die Menge aller Mengen, und alle \(a\) zu untersuchen, die keine Selbstreferenz haben

\(\exists M_p [(\forall a) [(a \in U) \rightarrow (\lnot (a\in a) \leftrightarrow (a\in M_p)]]\)             (*)

Das ist das Aussonderungsaxiom in der ZFA, \(M_p\) ist Teilmenge, das gilt nicht für ganz \(U\).

Rike Hmmm

Charlotte Außerdem ist ja \(M_p\) Teilmenge:

\(M_p \in U\),

weil \(U\) universell ist.

Rike Klar.

Charlotte Und deshalb können wir in der Formel (*) statt \(a\) auch \(M_p\) schreiben, weil es ja für alle \(a\) gilt und kriegen

\(\lnot (M_p \in M_p) \leftrightarrow M_p\in M_p\)

Rike Hey, Charlotte, das geht nicht, das hast du einen Widerspruch hergeleitet, ziemlich abstrakt und recht smart!

Charlotte Stimmt, folglich kann es die Menge \(U\), die alle anderen Mengen enthält, nicht geben. Badiou sagt, le monde entier existiert nicht, wie heißt das?

Max Die ganze Welt gibt es nicht.

Charlotte Jedenfalls nicht auf dieser mengentheoretischen Grundlage (ZFA).

Max Was machst du nun?

Charlotte Ich versuche, Kategorien zu verstehen.

Max Ach, das ist doch nicht schwer, Kategorien...!

* * *

Übungsaufgaben

  1. Finde ein Beispiel für \(a\in a\)!
  2. Finde ein Beispiel für \(a\notin a\)!

Lösungen

1. \(\emptyset \in \{\emptyset\}\), 2. \(1 \notin \{\emptyset\}\)