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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

marta-in-herford

Wie berechne ich komplexe Nullstellen?

Max und Rike treffen sich am Marta in Herford, Max sitzt mit seinem Handy auf der Bank, wartet und verzweifelt fast.

Rike Hi, Max, willst du Programmierer werden?

Max Nö, ich versuche mit der p-q-Formel die Wurzel aus

\(x^2 + 1 = 0\)

zu bekommen und mein Rechner sagt: „Ungültige Eingabe".

<span class='MathJax_Preview'>\(y=x^2 +1\)</span><script type='math/tex'>y=x^2 +1</script> hat keine reelle Nullstelle.
\(y=x^2 +1\) hat keine reelle Nullstelle.

Rike Ok, das ist richtig, die Herleitung geht im Reellen mit der quadratischer Ergänzung und die Formel funktioniert nur, wenn die Diskriminante

\(D:=\frac{p^2}{4} - q\)

für das Polynom

\(p(x) = x^2+px + q = 0\)

nicht negativ ist:

\(D \ge 0\)

Max Ja, stimmt, ich hab

\(p=0\)

und

\(q=1\),

also

\(D=-1\)

Also keine Lösung?

Rike Nein, keine reelle Lösung. Aber der gute, alte Gauß hat sich da was ausgedacht. Nehmen wir einfach einen anderen Zahlenraum, eine Dimension dazu. Schau mal, wenn du im Marta in einer Ausstellung so schön im Kreis gehen kannst, dass du die Ausstellung nicht mit einem Blick überschauen kannst, dann wäre das in einer Dimension nicht möglich!

Max Stimmt, in meiner alten Schule kann man im Flur hin- und herlaufen, von einem Punkt kann man alles überschauen, aber nicht im Marta!

Rike Ja, mit der 2. Dimension eröffnen sich neue Möglichkeiten. Eine komplexe Zahl besteht aus zwei Bestandteilen:

blog_kompl_ebene_02
Die komplexe Zahl \(z=(a,b)\)

\(z=(a,b)\)
\(a,b \in R\)
\(a=\Re (z)\) … Realteil
\(b=\Im (z)\) … Imaginärteil

Die Addition zweier komplexer Zahlen ist ganz einfach:

\(z_1 = (a_1, b_1)\)
\(z_2 = (a_2, b_2)\)
\(z_1+z_2 := (a_1+a_2, b_1+b_2)\)

Die Multiplikation ist etwas ungewöhnlich:

\(z_1 \cdot z_2 = (a_1 \cdot a_2 - b_1\cdot b_2, a_1\cdot b_2 + a_2 \cdot b_1)\)

Max Mach mal ein Beispiel, aber einfach!

Rike

\(z_1:=(1,0)\)
\(z_2:=(-1,0)\)
\(z_1+z_2=(0,0)\)
\(z_1\cdot z_2=(-1,0)\)

Ist der imaginäre Anteil 0, dann verhalten sie sich wie die reellen Zahlen. Beim Addieren und Multiplizieren bleiben sie in ihrer Eindimensionalität.

Addition zweier komplexer Zahlen mit Realteil 0.
Addition und Multiplikation zweier komplexer Zahlen mit Realteil 0.

Wir schreiben einfach:

\(z_1:=(1,0)=1\)
\(z_2:=(-1,0)=-1\)
\(z_1+z_2=1+(-1)=0\)
\(z_1\cdot z_2=1\cdot(-1)=-1\)

Max Und die zweite Dimension?

Rike Nehmen wir mal

\(z_3:=(0,1)\)
\(z_4:=(0,-1)\)
\(z_3+z_4=(0,0)=0\)
\(z_3\cdot z_4=(1,0)=1\)

Das heißt, diese zwei „imaginären“ Zahlen addiert und multipliziert ergeben etwas Reelles. Man kann das gut zeichnen.

Addition zweier komplexer Zahlen mit Realteil 0.
Addition zweier komplexer Zahlen mit Realteil 0.
Multiplkation zweier komplexer Zahlen mit Realteil 0.
Multiplkation zweier komplexer Zahlen mit Realteil 0.

 

Die imaginäre Einheit \((0,1)\) wird mit \(i\) - iiiiiiiiiimaginär - bezeichnet:

\(i=(0,1)\)

Max Und was ist \(i\) mal \(i\)?

Rike

\(i \cdot i = (0,1) \cdot (0,1) = (-1,0) = -1\)

Max Oh! Ich glaubs nicht!

\(i^2=-1\)?!

gaußsche Ebene
\(i\cdot i = -1\) und \(i \cdot (-i) = 1\) in der gaußschen Ebene

Rike Ja, und wenn bei deiner p-q-Formel

\(D<0\)

ist, dann schreibst du einfach

\(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm i \; \sqrt{-D}\)

Max Ok, ich versuchs:

\(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm i \; \sqrt{-D}\)
\(= 0 \pm i \; \sqrt{-(-1)} \)
\(= \pm\; i \; \sqrt{1}\)
\(= \pm \; i \)

Das passt, jetzt lass uns ins Marta gehen.

marta-648

Übungsaufgaben

Bestimme die Nullstellen von

  1. \(p(x) = x^2 + 3\)
  2. \(p(x) = x^2 -2x+2\)

Lösungen

  1. \(x_{1,2} = \pm i \sqrt{3}=(0,\pm \sqrt{3})\)
  2. \(x_{1,2} = 1\pm i = (1, \pm 1)\)