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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

63_titel_weltall

Wie projektive Räume die Zeit beschreiben

Max Wenn man hier so steht, fühlt man sich richtig gut. Man denkt, das Weltall ist freundlich, es passiert nichts Schlimmes, und wir können verstehen, was um uns herum passiert, wenn wir uns Mühe geben oder fragen.

Rike Max, der Romantiker! Globale Erwärmung, Verbrauch der Resourcen, Luftverschmutzung, Viren, Krankheiten... noch nie was davon gehört?

Max Hey Rike, das Weltall ist doch so groß, es wird Lösungen geben! Lass uns doch hoffen, wir machen es besser als die Generationen vor uns!

Rike Hey Max, es ist gar nicht klar, wie groß das Weltall ist. Es wird immer größer, wenigstens mit unserer Erkenntnis und unserem technischen Fortschritt. Es wird immer mehr entdeckt. Und doch bleibt unklar, was “dahinter” ist. Manche Welten können wir nie erfahren, weil sie sich von uns wegbewegen, oder sie sind schon soweit entfernt, dass sie auch mit Lichtgeschwindigkeit nicht erreicht werden. Aber es gibt ein optimistisches Weltmodell von Stephen Hawking und Roger Penrose, das kann ich Dir mal erklären.

Raumzeitmodelle

Max Ok, versuchs mal.

Rike Du denkst einfach nicht mehr in der 4-dimensionalen Raum-Zeit (\(\mathbf R^4\)), sondern stellst Dir die Zeit komplex vor.

Max Was soll ich machen?

Der projektive Raum

Rike Wir nehmen zuerst einmal Lichtstrahlen, die aus dem Nullpunkt kommen und die sich in viele Richtungen ausbreiten.

Max Ok, Licht breitet sich allseitig aus, hab ich schon mal gehört.

Rike Als nächstes identifizieren wir jeden einzelnen Strahl mit einem seiner Punkte. Dazu stellen wir eine Äquivalenzrelation auf:

\((x_1,y_1,z_1) \sim (x_2,y_2,z_2) \leftrightarrow \exists \lambda \in R: (x_1,y_1,z_1)=\lambda (x_2,y_2,z_2),\)

für \((x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2) \in \mathbf R^3\).

63_proj_lichtstrahl_02-03
Zeitstrahlen im \(\mathbf R^3, (x_1,y_1,z_1)\) und \((x_2,y_2,z_2)\) sind äquivalent.

Max Ok

Rike Und jetzt nehmen wir einen Punkt aus jeder Äquivalenzklasse, also von jedem Lichtstrahl einen, sagen wir mal, den mit dem Abstand 1 zum Nullpunkt.

Max Ok, dann kriegen wir aus allen Strahlen Punkte, und die liegen auf der Kugel?

Rike Stimmt! Wir haben eine Abbildung:

\(\mathbf R^3 \rightarrow S^2\)

vom 3-dimensionalen rellen Raum auf die 2-dimensionale relle Kugel

\(S^2 := \{(x,y,z): x ^2 +y ^2+z^2 = 1\}\).

So einen Raum aus Strahlen nennt man projektiven Raum. Hawking und Penrose transformieren diesen Raum in verschiedene andere, das erkläre ich Dir auch noch.

Max Kann das ein normaler Mensch verstehen?

Rike Ja klar, wir nehmen ja nur den \(\mathbf CP^1\).

Max Ok, wir versuchens. Der Himmel über uns sieht übrigens auch wie eine Kugel aus.

Eine stereografische Projektion

Rike Richtig! Wir nehmen also eine Kugel (\(S^2\)) und bilden die jetzt auf die komplexe Ebene ab:

\(S^2 \rightarrow \mathbf C\)

Und wenn du dann einen Punkt \(P\) der Kugel auf eine komplexe Zahl \(z'\) abbildest, so bist Du vom \(\mathbf R^3\) auf die komplexe Ebene gekommen.

Max Oh! Kannst Du die Projektion ausrechnen?

Rike Ja, wir legen die komplexe Ebene \(\mathbf C\) durch den Äquator der Kugel (\(z=0\)) . Alle Punkte auf dem Äquator werden wieder auf sich abgebildet:

\((x,y,z) \rightarrow (x,y,0)\)

Auf der oberen Halbkugel wird der Nordpol \(N=(0,0,1)\) festgelegt. Von dem aus ziehen wir zu einem Punkt \(P=(x,y,z)\) eine Linie, und wo diese die komplexe Ebene schneidet, in \(P'\) sagen wir mal, da haben wir eindeutig ein Bild von \(P\): \(P'\).

63_proj_eben_02-02
Stereografische Projektion von \(S^2 \ni P \rightarrow P' \in \mathbf C\).

Die Berechnungsvorschrift ist nicht schwer: Zu jedem Punkt \(P=(x,y,z)\) auf der Kugel außer dem Nordpol ist

\(P'=(x',y')= (\frac{x}{1-z}, \frac{y}{1-z}) \)

mit \(P' =(x',y')\) als Punkt verstanden oder

\(z' = x' + iy' = \frac{x}{1-z}+ i \frac{y}{1-z}\),

\(z'\) als komplexe Zahl verstanden.

Max Und dann gibt es noch einen Südpol? Was wird aus dem?

Rike Genau! \(S=(0,0,-1)\). Dann haben wir

\(S' = 0 + i\cdot 0 = 0\)

63_proj_suedpol_02-02
Abbildung des Südpols auf den Nullpunkt.

Max Ok, der Südpol kommt auf den Nullpunkt. Was wird aus dem Nordpol? Der kriegt keine komplexe Zahl als Bild?

Rike Doch! Der bekommt die größte komplexe Zahl, die mit dem Radius \(\infty\)!

63_proj_unendl_03-02
Abbildung des Nordpols auf \(\infty\).

Max Ok. Wer hat sich das denn ausgedacht?

Rike Das ist eigentlich die stereografische Projektion von der riemannschen Sphäre, die gibt es schon seeehr lange. Und weil wir jetzt die Kugel in die komplexe Ebene abgebildet haben, mit einer komplexen Dimension, heißt der projektive Raum \(\mathbf CP^1\).

Max Ok, ist ja nur ein Name.

Rike Neu ist aber, das als Zeit zu verstehen. Zeitliche Abläufe, zum Beispiel die Entstehung unseres Weltalls vom Urknall bis, na, na, bis Unendlich, werden jetzt auf Linien der Kugel mit endlicher Länge abgebildet. Das ist schon eine tolle Idee.

Max Hmm.

63_proj_03_02-03
Riemannsche Sphäre mit den reellen Zahlen auf dem Kreis.

Penroses Transformation

Rike Schau mal, als nächstes drehen wir die riemannsche Sphäre um 90°:

\(S^2 \rightarrow S^2: (x,y,z) \rightarrow (x,z,y)\)

also so, dass der Norpol (\(\infty\)) dann nach rechts zeigt und der Südpol (0) links ist. Dann hast die reellen Zahlen auf dem neuen Äquator.

63_proj_03_03-03
Neue, gedrehte riemmansche Sphäre

Max Ja?

Rike Klar, wenn der Imaginärteil der Punkte \(P\) Null ist, dann ist auch der Imaginärteil der Bildpunkte \(P'\) Null, weil

\(y' = \frac{y}{1-z}\)

Max Ok, verstehe.

Rike Siehst Du auch die Periodizitätsidee von Hawking und die Homogenität der Zeit?

Max Was meinst Du?

Der reelle Äquator im projektiven Raum

Rike Also, nach jedem Tag kommt ein neuer, aber in endlicher Zeit sind wir bei “\(\infty\)” und kommen von hinten an den Tag 0. Und das immer wieder.

63_proj_06_04-03
Äquator der neuen, riemannschen Sphäre. Er hat nur reelle Zahlen und Unendlich.

Max Boah, is' ja cool!

Rike Und jeder Tag ist gleichberechtigt, der Tag 0 ist genauso “gut” wie “\(\infty\)”, sagt Hawking.

Max Das gefällt mir, für immer Handballzeit!

Rike Jetzt zeichnen wir mal Dein Leben hier in den Äquator hinein, wann hast Du Geburtstag?

Max 1996.

63_proj_06_03-02
Max' Zeitlinie auf dem Äquator des projektiven Raumes \(\mathbf CP^1\)

Rike Also von 1996 bis heute. Das ist dann zwar nur eine Projektion des großen Weltgeschehens...

Die komplexe Zeit

Max Wer sagt denn, dass ich komplexe Zahlen oder Bälle nicht verstehen kann! Ich kann sehr wohl mit Bällen umgehen! Wenn Penrose und Hawking recht haben und der projektive Raum das richtige Modell für die Zeit ist, dann würde ich gern auf der Kugel im komplexen Teil entlang "leben" und von  o b e n  zum Tag 0 kommen!

63_proj_06_06-03
Max' neue Zeitlinie im projektiven Raum \(\mathbf CP^1\)

Rike Hahaha!

* * *

Übungsaufgabe

Berechne stereografische Projektionen von einigen Punkten auf der Kugel \(S^2\)!