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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

62_titel_physik

Wie schwingen Zeitkristalle?

Rike hat von den neusten Entdeckungen der physikalischen Forschung gelesen: Zeitkristalle sind erzeugt und beobachtet worden, auch deutsche Physiker waren beteiligt. Nun soll sie mit Max einen Beitrag für das Radio Triquency machen. Dafür fahren sie nach Ulm und treffen dort Ben.

Max Hi, Ben, super, dass Du Zeit für uns hast. Wir wollen ein Interview für unser Hochschulradio Triquency machen und vielleicht schaffen wir es, dass viele unserer Hörer und Hörerinnen Zeitkristalle verstehen.

Ben Ja klar, wir versuchen's. Wir gehen erst mal ins Labor, ich zeige Euch alles, dann machen wir das Interview.

Zeitkristalle

Max Gut, sag mal, wo kommt denn der Name her? Zeitkristalle?

Ben Zeitkristall bedeutet, dass es einen Zustand von Materie wie bei Kristallen gibt:  Sie haben ein räumliches Gitter, eine Art Ordnung, und die wiederholt sich zeitlich.

Max Ein zeitliches Kristallgitter?

Ben Ja, so ungefähr.

Rike Und weiter, was ist das Besondere?

Ben Es ist ein Materiezustand, der nicht im stationären Zustand ist. Man muß ihn anregen, das machen wir hier mit Lasern. Zuerst versuchen wir den Spin der Atome zu ändern, und dann versuchen wir, ihn erneut zu ändern, wir drehen ihn um 180°. Dabei versuchen die "Kristalle" in den alten Zustand zurückzukommen, aber sie schwingen hin und her und kommen nicht in den Gleichgewichtszustand. Wir brauchen nicht weiter anzuregen, sie schwingen und schwingen. Die Periode, mit der sie schwingen, ergibt sich aus der Summe der Einzelzeitintervalle der äußeren Anregungen.

Rike Hmm, das ist ja echt cool. Wie kann man das denn mathematisch beschreiben? Ist ja eigentlich eine Evolutionsgeschichte, wie kommt man denn da auf periodische Lösungen?

Ben Schau mal, wie haben hier den Hamiltonoperator:

Der Hamiltonoperator

\(H u = \triangle u + cu,\)

wenn ich mal nur eine Konstante \(c\) für unseren Versuchsaufbau drin lasse, die anderen setze ich 1, die Zwischenzustände lassen wir mal weg.

Rike Aaah, Ihr macht Quantenphysik. Da müßt Ihr den Hamiltonoperator nehmen, klaro.

Max Was macht dieser Operator?

Ben Der beschreibt die zeitliche Entwicklung der Quantenzustände. Den Hilbertraum kennst Du ja?

Max Hmm, der mit dem Skalarprodukt.

Ben Stimmt! Jetzt nehmen wir die Schrödingergleichung:

Die Schrödingergleichung

\(i \hbar\frac{\partial u}{\partial t} = H u\)

Rike Ok, dann haben wir

\(i \hbar \frac{\partial u}{\partial t} = H u = \triangle u + c u.\)

Max Was macht denn das \(i\) da drin? Komplexe Zahlen?

Ben Ja, das ist unsere Schrödingergleichung. Quantenphysik ist komplex. Da reichen die reellen Zahlen nicht aus. Aber die komplexen Zahlen sind wunderbar.

Max Und \(\hbar\)?

Ben ….Plancksches Wirkungsquantum....

Max Und was ist das Dreieck?

Ben Das ist der Laplaceoperator, der steht für die Summe der zweiten örtlichen Ableitungen.

Rike Ja, das kennen wir schon von meiner "Resonanzkatastrophe" und der Elastizitätstheorie für die Berliner.

Max Ja, das kennen wir!

Rike Mit komlexen Zahlen kann man ganz gut Schwingungen beschreiben, wart mal,

\(u(t) = e^{ -ift}u_0\)

müßte eine zeitliche Schwingung mit der Frequenz \(f\) beschreiben.

62-schwingung_um_ggz
Der blaue "Kristall" schwingt um einen Gleichgewichtszustand (orange). Dabei nimmt der blaue verschiedene Positionen an.

Ben Ja, stimmt.

Rike Und

\(u(x) = e^{ i\langle k, x\rangle} \)

beschreibt ein örtliches Muster.

Ben Stimmt, das packen wir zusammen:

Der Ansatz

\(u(x,t) = u_0 e^{ -i(ft-\langle k, x\rangle )} \)

62_kristall_09
Zeitkristalle: Hier schwingen die Kristalle mit der Frequenz \(f\). Sie bleiben am selben Ort.

und setzen es in die Schrödingergleichung

\( i\hbar \frac{\partial u}{\partial t} = \triangle u + cu,\)

ein. Willst Du das mal probieren?

Max  Hmmm, nö, Rike probiert das.

Rike Ok, ich differenziere \(u\) nach \(x_1\):

\(\frac{\partial u}{\partial x_1} = i k_1 u_0 e^{ -i(ft-\langle k, x\rangle )}\)

und

\(\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} = (i k_1)^2 u_0 e^{ -i(ft-\langle k, x\rangle )}\)

\(=- k_1^2 \cdot u\)

Wenn wir das für alle 3 räumlichen Richtungen machen, kriegen wir

\(\triangle u = \sum_j\frac{\partial^2 u}{\partial x_j^2}\)

\( = -(k_1^2 + k_2^2+k_3^2) u = -\Vert k \Vert^2 u\)

Ben Jetzt noch die zeitliche Ableitung:

\(\frac{\partial u}{\partial t} = -i f u_0 e^{ -i(ft-\langle k, x\rangle )}\)

\( = -if \cdot u\)

Das setzen wir in die Schrödingergleichung ein und erhalten für die linke Seite:

\(i \hbar \frac{\partial u}{\partial t} = i \hbar (-if) \cdot u\)

\(= \hbar f \cdot u\)

Rike Stimmt.

Eigenschaften von Zeitkristallen

Ben Und für die rechte Seite der Schrödingergleichung kriegen wir

\(H u = \triangle u + c u = -\Vert k \Vert^2 u + c u = (-\Vert k \Vert^2 + c) u\)

Jetzt setzen wir die linke und rechte Seite gleich und erhalten

\(\hbar f \cdot u = (-\Vert k \Vert^2 + c) u\)

Rike Hey, das klappt ja! Also, unser Ansatz \(u\) löst Bens Schrödingergleichung! Jetzt muss nur noch

\(\hbar f = - \Vert k \Vert^2 + c\)

für \(f, k\) und \(c\) gelten.

Ben Rike, gut so, es ist eine Vereinfachung, aber das Wesen ist so.

Max Was, Ihr braucht nur mit komplexen Zahlen zu rechnen, zweimal zu differenzieren und dann habt Ihr schon alles gelöst? Das ist doch easy, ich mache dann gleich mal das Interview!

Ben Ja, dieser de Broglie-Wellenansatz ist schon geil.

* * *

Übungsaufgaben

  1. Berechne \(\triangle u\) für den obigen Ansatz \(u\).
  2. Wie groß ist \(\hbar\)?

Lösung

2. \(\hbar = h/2\pi = 1,054 \cdot 10^{-34}\; J s\)