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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

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Wie Antonija die beste (hyperbolische) Idee hat

Antonija, Max und Rike diskutieren das Gamekonzept hin und her. Rike möchte einen außergewöhnlichen Raum benutzen. Schließlich schlägt Antonija einen hyperbolischen Raum vor. Das ist ein Raum, in dem fast alle Dreiecke gekrümmte Seiten haben und die Innenwinkelsumme kleiner als 180° (\(\pi\)) ist, wo sogar 0 als Innenwinkelsumme möglich ist.

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Max Hey, das hört sich gut an.

Rike Aber wie geht das genau? Ich habe keine gute Beschreibung gefunden.

Antonija Es gibt mehrere mathematische Modelle dafür, die meistens dasselbe beschreiben. Ich finde das Modell gut, das auf komplexen Zahlen und konformen Abbildungen beruht, das Poincaré Disk Model.

Max Konforme Abbildungen?

Antonija Das war in Moskau eine ganze Vorlesung, Funktionentheorie, die Anfänge dazu kommen aus Deutschland, von Gauß, Riemann, Weierstraß,...

Max Ok, erzähl mal weiter von dem hyperbolischen Raum.

Antonijas Idee

Antonija Also wir nehmen einen Einheitskreis ohne Rand in der komplexen Ebene für die Raumdimension \(N=2\).

66_einheitskreis_03

Für \(N=3\) nehmt Ihr eine Kugel, schaut mal hier, so könnte das aussehen.

Max Tatsächlich, die Dreiecke sind spitz und haben gekrümmte Seiten!

Rike Lass uns \(N=2\) nehmen.

Antonija Klar, lass uns den komplexen Kreis nehmen. Den nennen wir \(H\). Da kannst Du zwei Punkte \(P_1\) und \(P_2\) reinlegen, wo Du willst. Und die kürzeste Verbindung zwischen ihnen ….

Max … ist die Gerade!

Antonija Tja, wenn der Raum euklidisch ist! Jetzt vergessen wir das! In diesem hyperbolischen Raum \(H\) haben wir hauptsächlich Kreise, die werden in der Funktionentheorie Geraden genannt.

Max Hmm?

Antonija Also die neuen Geraden sind Kreise und die sollen den Rand von \(H\) im rechten Winkel schneiden, also die Tangenten an die Kreise, genauer gesagt.

66_abstand_01

Die Schnittpunkte auf dem Rand nenne ich mal \(Q_1\) und \(Q_2\), wir haben sogar eine Ordnung auf der Gerade \(g\), den Schnittpunkt nahe \(P_1\) nennen wir \(Q_1\) und den anderen \(Q_2\).

Rike Ok, dann sind alle Geraden gekrümmt?

Antonija Ja, nur am Äquator haben wir eine richtige Gerade.

Rike Und weiter?

Der hyperbolische Abstand zweier Punkte

Antonija Jetzt können wir den hyperbolischen Abstand \(d\) dieser zwei Punkte messen:

\(d(P_1,P_2)= \frac{1}{2} \ln \Vert\frac {Q_1-P_2}{Q_1-P_1}\Vert \cdot \Vert\frac{Q_2-P_1}{Q_2-P_2}\Vert\)

Rike Ok, etwas umständlich, aber das kann ich programieren.

Antonija Smotrij, wie sagt Ihr?

Rike Sieh, seht.

Antonija Danke, seht, wenn \(P_1\) hin zu \(Q_1\) wandert, also wenn Ihr immer näher zum Rand kommt, dann wird \(d\) immer größer. Auf dem Rand von \(H\) ist \(d\) nicht definiert.

Max Was? Hat \(H\) keinen Umfang?

Antonija Sieh, wenn wir den Äquator nehmen und wenn wir Dich in den Nullpunkt stellen , also

\(P_1= 0 \),

66_hyperb_reell_07

 

dann können wir den Abstand eines (reellen) Punktes \(x \in (0,1)\) von 0 gut berechnen:

\(d(0,x) = \frac{1}{2} \ln |\frac{-1-x}{-1-0} \cdot \frac{1-0}{1-x}|\)

\( = \frac{1}{2} \ln |\frac{1+x}{+1} \cdot \frac{1}{1-x}|\)

\(=\frac{1}{2} \ln |\frac{1+x}{1-x}|\)

\(=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}\)

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Der hyperbolische Abstand \(d(0,x)\) eines Punktes \(x \in (0,1)\) vom Ursprung. Im Vergleich dazu der euklidische Abstand (in Orange)

Rike Hey, das ist ja wirklich toll! Das ist gut!

Antonija Ebenso geht das mit den Flächen. Du bildest aus Geraden Dreiecke und kannst die Fläche eines Dreiecks in \(H\) mit den Winkeln \(\alpha, \beta, \gamma\) berechnen:

Flächeninhalt eines Dreiecks

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\(|A| = \frac{1}{4} (\pi-\alpha - \beta - \gamma)\)

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Alle Innenwinkel sind 0, also ist der Flächeninhalt \(|A|=\frac{\pi}{4}=0,7853\)

Max Sag mal, der Rand ist wohl nicht bespielbar? Die Dreiecke berühren den Rand nur in einem Punkt?

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\(|A_1|= |A_2|= |A_3|= |A_4| = \frac{\pi}{4}\)

Antonija Stimmt. Sieh, die Dreiecke \(A_1, A_2, A_3, A_4\), die weiter am Rand liegen, haben dieselbe Fläche!

Max Die sehen aber kleiner aus!

Antonija Max, versuch mal, nicht euklidisch denken. Die hyperbolische Fläche bleibt

\(|A|=\frac{\pi}{4}\)

Max Hey, dann habe ich eine gute Idee! In diesem Hyperland würde ich gern draußen wohnen!

Antonija Natürlich, am Rand vom Hyperland wohnen schon die Gates, die Winterkorns und die Millers dieser Welt...

Rike Sag mal, Antonija, kannst Du auch andere Flächen berechnen?

Antonija Klar, es gibt eine allgemeine Formel, die kommt aus der Funktionentheorie:

\(|A|= \int_A \frac{dA}{(1-|z|^2)^2}\).

Rike Ok, kann ich damit irgendwas analytisch integrieren?

Flächeninhalt eines Kreises

66_kreisflaeche_04

Antonija Ja, zum Beispiel die Kreise um den Ursprung: Wir führen einfach Polarkoordinaten ein:

\(\Re (z) = x = r \cos \varphi\),

\(\Im (z) = y = r \sin \varphi\),

mit \(\varphi \in [0,2\pi], r > 0\).

Aus dem Flächenelement \(dA\) wird dann mit der Funktionaldeterminante

\(dA = r \;dr\; d\varphi\).

Aus dem Betrag der komplexen Zahl \(z\) wird

\(|z|= r \),

also ist die Fläche \(|A_R|\) eines Kreises um Null mit dem Radius \(R \in [0,1)\):

\(|A_R| = \int_A \frac{dA}{(1-|z|^2)^2}\)

\(=\int_0^{2\pi} \int_0^R \frac{r\; dr\; d\varphi}{(1-r^2)^2}\)

\(= 2\pi \frac{1}{2}\left[ \frac{1}{1-r^2} \right]_0^R \)

\(= \pi \left( \frac{1}{1-R^2} - 1 \right)\)

\(= \pi \frac{1-(1-R^2)}{1-R^2}\)

\(=\pi \frac{R^2}{1-R^2}\)

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Der hyperbolische Flächeninhalt (türkis) von Kreisen um den Ursprung, dazu im Vergleich den euklidischen Flächeninhalt \(|A_R|=\pi R^2\) (in Orange).

Rike Hey, das gefällt mir, die Fläche für sehr kleine Kreise wird sehr klein, und für sehr große Kreise wird sie sehr groß. Die Fläche von \(H\) ist unendlich groß!

Rikes Game

Max Cool. Also, dann schlage ich mal was vor: Rikes Hero startet in Null, da wohnen die normalen Leute, so wie wir. Er will unbedingt zum Rand kommen, da ist das Paradies.

Rike  Zum Rand selbst ist der Weg unendlich lang. Das kann ich nicht programmieren. Es wäre besser, wenn er versucht, auf ein Gelände am Rand zu kommen...

66_paradies_04

Max Ok, unterwegs begegnet er hübschen Sängerinnen, spielt Handball ...

Rike … und rettet die Welt...

* * *

Übungsaufgaben

  1. Wie groß ist das Paradies \(P\)?
  2. Wie lang ist der hyperbolische Weg zum Paradies \(P\)?
  3. Wie lang ist der euklidische Abstand zum Paradies?

Lösungen

  1. Es ist unendlich groß.
  2. Wenn \(r_P\) der Radius des Paradieses ist, dann ist

    \(d(0, 1-r_p) =\frac{1}{2} \ln \frac{1+(1-r_P)}{1-(1-r_P)}\)

    \(=\frac{1}{2} \ln \frac{2-r_P}{r_P}\)

  3. \(1-r_P\)
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Der hyperbolische Abstand \(d\) vom Ursprung zum Paradies in Abhängigkeit vom Radius \(r_P\) des Paradieses (in Türkis). Im Vergleich dazu der euklidische Abstand (in Orange).