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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

34-titel-negev

Wie diskutiert man Raumzeitkurven?

Rike und Max waren in Jerusalem, haben die Altstadt und sogar den Tempelberg besichtigt. Sie waren ein paar Tage in Tel Aviv. Dort haben sie auf einer Party Aaron kennengelernt. Er promoviert an der Tel Aviv University und betreut das Wise Observatory in der Wüste Negev. Rike und Max durften zum Observatorium mitkommen und nun sitzen sie da und schauen in den schönsten israelischen Sternenhimmel.

Israelische Neuigkeiten von Schwarzen Löchern

Rike Aaron, ihr habt echt tolle Bedingungen hier. Habt ihr schon was entdeckt?

Aaron Ja, wir sind Spezialisten für Schwarze Löcher. Jeff Steinhauer vom Israel Institute of Technology in Haifa hat Schwarze Löcher in seinem Kühlschrank simuliert und die Hawking-Strahlung experimentell im Kühlschrank bestätigt. Ich habe es selbst gesehen! Er untersucht, ob etwas aus dem Schwarzen Loch herauskommen kann, und ob es Wechselwirkungen mit der Umgebung gibt.

Max Und was machst du?

Aaron Ich beobachte ein paar, eins ist im Andromeda-Nebel, und das größte bekannte, im NGC1277 usw.

Max Wie geht das?

Raumzeitkurven

Aaron You know, Schwarze Löcher sind so schwer, dass sie das Licht in ihrer Nähe „verbiegen“.

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Ablenkung des Lichtstrahls durch ein Schwarzes Loch

Max Ich habe in der Schule gelernt, dass sich Licht geradlinig ausbreitet.

Aaron Ja, zwischen Sonne und Erde mag das so sein. Mein Thema ist gerade, geeignete Koordinaten herauszufinden, um das bequem zu notieren. Aber ihr kennt doch Schwarzschild, Riemann und Einstein? Alles deutsche Wissenschaftler.

Geodäten

Rike Ja klar, Karl Schwarzschild hat den kritischen Radius um ein astronomisches Objekt aus seiner Masse berechnet, Bernhard Riemann hat sich den Krümmungstensor zur Beschreibung von gekrümmten Räumen ausgedacht,…

Aaron Yes, I know, the Riemann tensor ...

Rike ... und von Albert Einstein stammen die einsteinschen Feldgleichungen, die Relativitätstheorie und \(c\).

Aaron Ja, hat er gemacht. I love the Einstein field equations (EFE). Ich habe mit speziellen Schwarzschild-Koordinaten angefangen. You know, wir haben 3 Raum- und eine Zeitdimension. Die Linien im 4-dimensionalem Raum, die dort die Bewegungen oder das Licht beschreiben, sollen den EFE genügen. So bekommen wir geodätische Linien. Die brauchen die geringste Energie. Das ist im „flachen“ Raum die Gerade, im gekrümmten Raum eine Kurve.

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Geodätische Linie zwischen A und B im Raum ohne Krümmung
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Geodätische Linie zwischen A und B im Raum mit Krümmung

Lösungen der EFE mit Kugelsymmetrie

Also, stellt euch ein rotierendes Schwarzes Loch im \(R^4\) vor, nehmen wir andere Koordianten als die euklidischen:

\(R^4 \rightarrow R^4\)

\((x, y, z,t) \rightarrow (r, \vartheta, \varphi, t)\)

Dann nehmen wir an, um ein Schwarzes Loch haben wir eine Kugelsymmetrie, das heißt, keine Richtung ist ausgezeichnet, die Lösung hängt nicht von \(\vartheta\) oder \(\varphi\) ab. So kommt man zu der Lösungsschar

\(\pm ct = r + r_S \ln | \frac{r}{r_S} - 1 | + ct_0\),

\(t_0\) ... Anfangszeit
\(c\) ... Lichtgeschwindigkeit
\(r_S\) ... Schwarzschildradius

Rike Sieht doch gut aus, wir können das gut nach \(t\) umstellen.

\(t = \pm (\frac{r}{c} + \frac{r_S}{c}\; \ln | \frac{r}{r_S} - 1 | + t_0),\)

aber

\(r = r_S\)

ist nicht erlaubt?

Der Schwarzschildradius als kritischer Radius

Aaron Stimmt, \(r = r_S\) ist nicht erlaubt. Jeff Steinhauer hat vorgeschlagen, den Schwarzschildradius wie eine kritische Linie an einem Wasserfall zu betrachten.

34-wasserfall_11-03
Kritischer Radius \(r_S\) an einem Wasserfall: rechts davon kann man sich in beide Richtungen bewegen, links nicht.

Wenn du darüber kommst, gibt es kein Zurück.

Max Das kann ich mir vorstellen.

Rike Jetzt lass uns mal die Raumzeitkurven diskutieren, du musst nur aushalten, \(r\) als Veränderliche zu nehmen:

\(t = t(r)\)

Aaron Klar.

Kurvendiskussion für \(r>r_S\)

Rike Dann berechnen wir mal die 1. Ableitung:

1. Fall: \(r>r_S\)

Dann ist

\(\frac{r}{r_S} > 1\),

also

\(\frac{r}{r_S} - 1 > 0\),

und

\(t = t(r) = \pm (\frac{r}{c} + \frac{r_S}{c}\; \ln ( \frac{r}{r_S} - 1 ) + t_0),\).

Die erste Ableitung ist dann

\(\frac{dt}{dr} = \pm (\frac{1}{c} + \frac{r_S}{c}\;\frac{1}{r_S}\;\frac{1}{\frac{r}{r_S} - 1}),\)

\( = \pm \frac{1}{c} (1 + \frac{r_S}{r - r_S})\)

\(= \pm \frac{1}{c} ( \frac{r - r_S + r_S}{r - r_S})\)

\(= \pm \frac{1}{c} \frac{r}{r - r_S}\)

Die Ableitung wird niemals Null, also hat die Kurve \(t=t(r)\) keine Minima oder Maxima. Für \(r \rightarrow r_S\) geht die Ableitung nach \(\pm \infty\), für \(r \rightarrow \infty\) geht die Ableitung nach \(\pm \frac{1}{c}\). Und vor allem, die Kurven sehen für alle Parameter ähnlich aus, es gibt nur eine Form.

geod_rs_gt_r_aussen
Die Raumzeitkurve für Radien größer als der Schwarzschildradius \(r_S\).

Kurvendiskussion im Schwarzen Loch

2. Fall: \(r < r_S\)

Dann ist

\(\frac{r}{r_S} < 1\),

und

\(\frac{r}{r_S} - 1 < 0\),

so wird aus

\(| \frac{r}{r_S} - 1 |\)

jetzt

\(1 - \frac{r}{r_S} \)

Und wie im ersten Fall berechnen wir für

\(t = t(r) = \pm (\frac{r}{c} + \frac{r_S}{c}\; \ln ( 1- \frac{r}{r_S} ) + t_0),\)

die erste Ableitung:

\(\frac{dt}{dr}= ... = \mp \frac{1}{c} \frac{r}{r_S - r}\).

Das sieht also so aus:

geod_rs_le_r_innen-02
Die Raumzeitkurve für Radien kleiner als der Schwarzschildradius.

Interpretation unserer Lösungen

Max Haben wir jetzt Geodäten ausgerechnet, die Wege des Lichts?

Aaron Ja, das haben wir. Wir haben nur einen Zweig genommen, aber wegen der beiden Vorzeichen spiegeln wir die Kurven an der \(r\)-Achse und verheften sie. Dann bekommen wir solche Bögen, eine Art von Lösung, wo das Licht nicht in das Schwarze Loch eindringt. Da kann der Lichtstrahl also herum gehen. Das Schwarze Loch wirkt für uns hier unten wie eine spezielle Kamera und Spiegel zugleich. Wenn du in B stehst, zeigt es dir das Bild von A.

34-kurve_03-0234-kurve_02-02

Max Also da oben haben die Schwarzen Löcher Spiegel? Dann hast du ja eine super Aufgabe, das Schwarze Loch zu beschreiben, wenn es dir einen Spiegel vor die Nase hält!

Aaron Finde ich gut, so kann ich vielleicht noch ganz andere Galaxien im Spiegel sehen. Aber sagt mal, you wise guys, wie stellt ihr euch denn den 4-dimensionalen Raum vor, wenn ich an jeden Linienpunkt noch die \(\varphi\)- und \(\vartheta\)-Koordinaten anheften muss?

* * *

Übungsaufgaben

  1. Berechne \(d^2t/dr^2\)
  2. Gibt es Wendepunkte?

Lösungen

  1. \(\frac{d^2t}{dr^2}=\mp \frac{1}{c}\;\frac{r_S}{(r-r_S)^2}\)
  2. nein