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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

Wie geht Resonanzkatastrophe?

Rike ist mit ihrem Auto in den Straßengraben gefahren.

Max Hi, was ist los?

Rike Bin etwas schnell gefahren, hatte das Gefühl, dass ich den Lenker nicht fest im Griff hatte, ja und den Rest siehst du ja!

Max Wie geht es Dir?

Rike Bin ziemlich sauer auf das Auto und auf mich!

Max  Rike, noch mal, ganz langsam. Du bist hier lang gefahren? Gegenverkehr?

Rike ja…nein

Max Wie schnell denn?

Rike So 140, weiß nicht, ich hab den Zeiger noch nie so weit am Anschlag gesehen, der Lenker hat gewackelt und unterm Sitz hat es gedröhnt!

Max Rike, das war zu schnell. Dein Motor hat getan, was er konnte, 4 000 Umdrehungen/Minute, die Lenkwelle hat vermutlich auch angefangen zu schwingen und der Fahrzeugboden. Da ist einfach Schluss! Das heißt Resonanzkatastrophe!

stange_pfeil
Resonanzkatastrophe bei einer eindimensionalen Schwingung. Lösung (13) der inhomogenen Wellengleichung (12) mit Anfangs-und Randbedingungen (5-7) und \(k=3\).

Rike Hab ich noch nicht gehört, so was kommt beim Programmieren nicht vor.

auto_dialog-648
Max Ich rufe jetzt Leo an, der kennt jemand vom Schrotthandel, der holt den Rest dann ab. Dann lade ich alle zum Pizzaessen ein, ja?

Rike Resonanzkatastrophenbeerdigungsfeier?

Mathematik der Wellen

Die Wellengleichung beschreibt das zeitliche und räumliche Verhalten:

(1) \(\;\;\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}\)

\(c\)...Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle

(1) heißt homogene Wellengleichung, sie kann auch als

(2) \(\;\;\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=0\)

beschrieben werden. Mit dem Ansatz

(3) \(\;\;u(x,t)=\sin(2\pi ft) \cdot \sin(2\pi \frac{x}{\lambda})\)

\(f\)...Frequenz der zeitlichen Schwingung

\(\lambda\)...Wellenlänge der räumlichen Schwingung

erhält man durch Einsetzen Lösungen der Wellengleichung (1), wenn die Bedingung

(4) \(\;\;c=f\cdot\lambda\)

erfüllt ist. In unserem Fall haben wir weitere Bedingungen: Zur Zeit

\(t=0\)

nehmen wir die Ruhelage an:

Anfangsbedingung

(5) \(\;\;u(x,0) = 0 \;\forall x\)

Die Gleichung (5) heißt Anfangsbedingung. Außerdem betrachten wir hier "nur" die eindimensionale Wellengleichung für eine Stange mit der endlichen Länge \(l\), also

\(x \in [0,l].\)

Randbedingungen

Die Stange ist befestigt, also fordern wir die sogenannten (homogenen Dirichlet-) Randbedingungen:

(6) \(\;\;u(t,0)=0 \;\forall t>0\)
(7) \(\;\;u(t,l)=0 \; \forall t>0\)

Die Bedingung (5) ist von unserem Ansatz durch die geschickte Wahl des Sinus für die zeitliche Schwingung erfüllt. Ebenso ist (6) durch die geschickte Wahl des Sinus für die örtliche Schwingung erfüllt. (7) führt zu

(8) \(\;\;\sin(2\pi \frac{l}{\lambda}) = 0\)

Und weil die Nullstellen des Sinus bekannt sind, haben wir

(9) \(\;\;2\pi \frac{l}{\lambda} = k\pi , \;k\in Z\)

Also

(10) \(\;\;\frac{1}{\lambda}=\frac{ k}{2l} , \;k\in Z\)

und somit die Lösungen von der homogenen Wellengleichung (1) mit den Anfangs- und Randbedingungen (5-7):

(11) \(\;\;u(x,t)=\sin(2\pi ft) \cdot \sin(2\pi \frac{x\cdot k}{2l})\).

0_sinus_x_1000
Lösung der homogenen Wellengleichung mit \(k=0\).
1_sinus_x_1000
Lösung der homogenen Wellengleichung mit \(k=1\).

 

Lösung der Wellengleichung mit <span class='MathJax_Preview'>\(k=2\)</span><script type='math/tex'>k=2</script>.
Lösung der homogenen Wellengleichung mit \(k=2\).
Lösung der Wellengleichung mit <span class='MathJax_Preview'>\(k=3\)</span><script type='math/tex'>k=3</script>.
Lösung der homogenen Wellengleichung mit \(k=3\).
Lösung der Wellengleichung mit <span class='MathJax_Preview'>\(k=4\)</span><script type='math/tex'>k=4</script>.
Lösung der homogenen Wellengleichung mit \(k=4\).
Lösung der Wellengleichung mit <span class='MathJax_Preview'>\(k=5\)</span><script type='math/tex'>k=5</script>.
Lösung der homogenen Wellengleichung mit \(k=5\).
Lösung der Wellengleichung mit <span class='MathJax_Preview'>\(k=6\)</span><script type='math/tex'>k=6</script>.
Lösung der homogenen Wellengleichung mit \(k=6\).

Das sind alles sogenannte stehende Wellen, die nicht die Resonanzkatastrophe beschreiben. Erst wenn von außen noch Anregungen zum System hinzukommen, etwa als Funktion \(F(x,t)\), die wie bei Rikes Auto von Schwingungen des Motors zu Schwingungen der Lenkwelle führen, kann es unbeschränkte Lösungen geben.

Die inhomogene Wellengleichung lautet

(12) \(\;\;\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=F\).

* * *

Übungsaufgabe

Finde mit dem Ansatz

(13) \(\;\;u(x,t)=t \cdot\;\sin(2\pi ft) \cdot \sin(2\pi \frac{x\cdot k}{2l})\)

für (12) die Funktion \(F(x,t)\).

Lösung

\(F(x,t) = 4 \pi f \cos(2\pi ft) \cdot \sin(2\pi \frac{x\cdot k}{2l})\),

also eine Schwingung mit derselben zeitlichen Frequenz \(f\).