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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

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Wie viele Differenzialgleichungen braucht man in einem kubanischen Hotel?

Max und Rike sind in Kuba. Max surft im Atlantik, Rike kann heute nicht ins Wasser. Sie bleibt im Hotel und hat sich mit dem Zimmermädchen Estefania verabredet. Zusammen schimpfen sie auf das dauernde Putzen. Estefania fragt, ob es denn möglich sei, den Schmutz der Welt im Eimer zu sammeln. Kann es im Eimer mehr Schmutz als außerhalb geben? Sie hat manchmal das Gefühl, dass sie den Schmutz des einen Zimmers in das nächste bringt.

Estefania Ist das nicht hoffnungslos? Den Dreck einzusammeln und damit ins nächste Zimmer zu gehen?

Rike Ich hab mich das auch schon gefragt. Nehmen wir mal an, \(c_{in}\) und \(c_{out}\) sind die Konzentrationen des Schmutzes im Eimer bzw. außerhalb. \(c_{in}\) wird größer mit dem Faktor \(\alpha\) und proportional mit deinem Wischen, und mit dem Faktor \(\beta\) und proportional zum Inhalt des Eimers verteilst du etwas außerhalb, also das geht im Eimer verloren:

Modellierung des Wischens

\({\dot c_{in}} = \alpha c_{out} - \beta c_{in}\)

Estefania Was ist der Punkt über \(c_{in}\)?

Rike Das ist die Abkürzung für die Ableitung nach der Zeit, also

\( {\dot c_{in}} (t)=\frac {dc_{in}(t)}{dt}\)

Bei der Herleitung der Gleichungen sagt man am besten dafür: die zeitliche Änderung ist...

Estefania OK.

Rike Und umgekehrt, du nimmst mit deiner Arbeit den \(\alpha\)-Teil von Außen weg und den \(\beta\)-Teil von Innen dazu:

\({\dot c_{out}} = - \alpha c_{out} + \beta c_{in},\)

\(\alpha, \beta >0\). Da haben wir ein nettes kleines lineares Differenzialgleichungssystem:

Das lineare Differenzialgleichungssystem

\({\dot c_{in}} = \alpha c_{out} - \beta c_{in}\)

\({\dot c_{out}} = - \alpha c_{out} + \beta c_{in},\)

Estefania Ja, sehe ich auch so,

\(c_{in}, c_{out} \ge 0\)

musst du noch fordern.

Gleichgewichtslösungen

Rike Klar. Also zuerst haben wir 0 als eine Gleichgewichtslösung.

Estefania Ja, das finde ich gut. Nirgends Dreck,

\(c_{in}=c_{out}=0\).

Das ist das Paradies, wir können Musik hören, Zigarillos rauchen und Autos reparieren!

Rike Das wär cool! Aber es gibt noch mehr Gleichgewichtslösungen: Immer, wenn

\(\alpha c_{out} = \beta c_{in}\)

ist, also

\(c_{out} = \frac{\beta}{\alpha}\; c_{in},\)

dann kannst du wischen, wie du willst, es ändert sich nichts.

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Alle (physikalisch sinnvollen) Gleichgewichtslösungen

Estefania Hmmm. Und wie stabil ist das Gleichgewicht?

Phasenfluss

Rike Wir zeichnen den Phasenfluss.

Estefania Wie geht das?

Rike Wir berechnen die Vorzeichen von \({\dot c_{in}}\) und \({\dot c_{out}}\) oberhalb und unterhalb der Gleichgewichtslinie. Wenn

\(c_{in} = 0\),

also auf der vertikalen Achse, ist

\({\dot c_{in}} = \alpha c_{out} > 0\)

\({\dot c_{out}} = - \alpha c_{out} < 0\)

Der Anstieg in beide Richtungen ist sogar gleich, wir haben Pfeile nach rechts unten auf der Achse.

Estefania Und die andere Achse?

Rike

\(c_{out} = 0\),

also

\({\dot c_{in}} = - \beta c_{in} < 0\)

\({\dot c_{out}} = + \beta c_{in} > 0,\)

die Pfeile sind nach links oben. Nur auf der Gleichgewichtslinie kann sich das Vorzeichen ändern.

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Der Phasenfluss

Estefania Dann geht alles zum Gleichgewicht hin?

Rike Ja, sieht so aus?

Estefania Wie verläuft mein Job in diesem Schema?

Anfangsbedingungen und grafische Lösungen

Rike Du startest zur Zeit \(t=t_0\) mit

\(c_{out}(t_0)=c_{out\;0}\)

und

\(c_{in}(t_0) = 0,\)

also einem reinen Eimer. Das wären die Anfangsbedingungen. Das zeichnen wir hier ein. Dann arbeitest du so lange, bis du zu der Linie kommst oder dir reicht es, und du holst zur Zeit \(t=t_1\) einen neuen reinen Eimer. Hoffentlich ist der Schmutz draußen geringer geworden!

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Eine grafische Lösung

Estefania  Das ist ja die reinste trabajo de Sisifo!

Rike Schlimmer ist es, wenn sich gleichzeitig der Dreck der Welt vergrößert, und es sieht so aus, …

Estefania Ja, zeichne mir das mal auf! Das zeige ich meiner Mutter!

Rike Hier:

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Die grafische Lösung für den Fall, dass Estefania zur Zeit \(t=t_1\) mit einem größeren Wert \(c_{out}\) fortsetzt als sie soeben aufgehört hat.

Estefania Mierda! Oye! No!

Rike Vielleicht suchst du dir doch einen anderen Job oder wir automatisieren das?

* * *

Übungsaufgabe

Wie sieht die grafische Lösung aus, wenn du mit einem Wert \(c_{in}>0, c_{out} = 0\) startest?

Lösung

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Das bedeutet, dass ich mit Dreck im Eimer in einem reinen Zimmer starte. Der Dreck im Eimer wird dann immer weniger...