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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

64-titel-tunnel

Wie viel Mathematik braucht eine Gamedesignerin?

Rikes Studium nähert sich dem Ende. Sie plant ihre Abschlußarbeit. Sie will ein Role-playing video game entwerfen, wo sympatische Charaktere in komplizierten Räumen agieren. Dazu will sie eine andere Perspektive als in Assassin's Creed wählen. Dort gab es die Third Person-Perspektive, wo die Kamera hinter dem Haupthelden starr festgelegt war und immer auf ihn gerichtet war. Sie hat im Netz ein bischen recherchiert und Methoden und Beispiele für andere Perspektiven  gesucht, aber bisher vergeblich. Übermüdet fährt sie mit Max ins Wochenende. Im Tunnel wird ihr nun Angst und Bange, sie müssen anhalten.

Max Hey Rike, was ist los?

Rike Dieser Tunnel erinnert mich an meine letzten Nächte, wo ich versucht habe, eine Perspektive für meine Haupthelden zu entwickeln.

Max Aber das ist doch gar nicht so schwer. Wir haben neulich eine Fahrt mit dem Auto gemacht, und ich habe die Kamera angebracht und bedient.

Rike Ja??? Hat das denn geklappt? Wird einem da nicht schrecklich übel, wenn man die ganze Zeit durch die Kamera schaut?

Max Ach! Wir sind so wie jetzt durch kurvige und bergige Strecken gefahren.

Der Blick der Kamera

Rike Max, mein Problem ist so: Ich habe hier eine Linie, wo sich mein Charakter entlang bewegen soll, und ich will die Ego-Perspektive nehmen. Aber wo schaut er hin? Ich hab' gelesen, dass dem Haupthelden bei seinem Run entlang einer Geodäte in gekrümmten Räumen der Boden unter den Füßen wegfällt, und das fand ich nicht so gut. In Assassin's Creed hat es eine Third  Person-Perspektive. Da ist die Kamera ebenfalls fest hinter dem Helden fixiert, das macht mich echt mutlos, ich habe nichts Besseres gefunden.

Max Ach, Rike, wenn ich das mit der Kamera fix auf dem Auto positioniert hätte ohne Schwenkmöglichkeit und ohne Fokussteuerung, dann wäre großer Mist rausgekommen. Schau mal, wenn wir hier den Tunnel entlang fahren, dann schaue ich auf das Tunnelende.

Rike Hey Max, du hast recht, ja... Wie richtest Du die Kamera genau aus, wenn sie fest auf dem Auto fixiert ist?

Das Horizont-Prinzip

Max Ich habe in Richtung des Ziels fokussiert.

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Rike Aaah, das Horizont-Prinzip! Wenn wir das in einer anderen Perspektive zeichnen, siehst Du mein Problem:

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Die Kamera bewegt sich und blickt hier parallel zum Weg \(\overrightarrow{AB}\)

 

Nehmen wir mal an, \(P\) bewegt sich von \(A\) nach \(B\). Wenn die Kamera \(K\) mit einem  Abstand \(d\) am Punkt \(P\) angebracht ist, z.B. über dem Punkt \(P\), und wenn ich sie parallel zur Strecke \(\overrightarrow{AB}\) ausrichte, dann zeigt die Kamera ins Leere!

Max Also wir haben das bei unserem Dreh so gemacht: Die Kamera fest am Auto, und ich habe sie immer ans Ende unseres Weges geschwenkt, jetzt zum Beispiel würde ich dorthin schauen, wo der Weg hinführt.

Rike Ah, zum Horinzont.

Max Wenn das Ziel, also der Point of Interest, wirklich am Boden liegt, dann schwenke ich drauf, ist doch klar, mir fällt nicht der Boden unter den Füßen weg.

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Der Blick der Kamera \(K\) auf \(B\) am Startpunkt \(A\)
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Der Blick der Kamera \(K\) auf \(B\) auf dem Weg von \(A\) nach \(B\)
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Der Blick der Kamera \(K\) auf \(B\)

 

Rike Ja, Du hast recht! Du bist der erste, der mir das richtig beibringt! An jedem Ort ändert sich die Blickrichtung! Sie zielt auf das Ziel. Klaro! Das könnte man so zeichnen: Wie ein Richtungsfeld, wie ein Phasenfluss, ja, wie, wie ein elektrisches Feld!

Feldlinien

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Die Feldlinien beim Kameraweg im Abstand \(d\) vom Weg \(\cal C\)

Max Hmm, sieht sehr technisch aus!

Rike Ja, die Linien laufen alle direkt zum Ziel. Hey, mit fällt ein, es gibt da Gleichungen, die diese Feldlinien geometrisch beschreiben, hey, partielle Diffentialgleichungen, dann kann ich das vielleicht gut in den Griff kriegen! Das sind, wart mal, ja, die Maxwellgleichungen.

Die Maxwellgleichung für das elektrische Feld

Max Maxwellgleichungen?

Rike Ja, die gehen so:

\(\bigtriangledown \cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0}\)

Max \(E\) für das elektrische Feld? Was ist \(\rho\)? Was ist \(\epsilon_0\)?

Rike Ja,

\(E: \mathbf R^3 \rightarrow \mathbf R^3 \) (Feld)

ist das elektrische Feld, zu jedem Punkt \(P \in \mathbf R^3\) gibt es einen Vektor

\(E(P) \in \mathbf R^3,\)

und

\(\rho: \mathbf R^3 \rightarrow \mathbf R\) (Funktion)

ist die Ladungsdichte im Raum. Wir hätten im Startpunkt \(A\) eine positive Ladung und in \(B\) eine negative Ladung, im restlichen Raum wäre die Ladung Null. Zu jedem Punkt \(P\in \mathbf R^3 \) kann man eine Zahl

\(\rho(P)\in \mathbf R\)

bestimmen.

\(\epsilon_0\in \mathbf R^3\) (Zahl)

ist die elektrische Feldkonstante, sie beschreibt, wie das Gebiet das elektrische Feld “durchlässt”.

\(\bigtriangledown \cdot E \)

bedeutet die Divergenz des elektrischen Feldes:

\(\bigtriangledown \cdot E = \frac{\partial E_1}{\partial x_1} +\frac{\partial E_2}{\partial x_2} +\frac{\partial E_3}{\partial x_3}\),

es ist die Summe der partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten. Das maxwellsche Gesetz sagt, dass elektrische Ladungen eine Änderung des elektrischen Feldes hervorrufen.

Felder in gekrümmten Räumen

Max OK. Meinst Du, dass man das auch für die Kamerarichtung benutzen kann?

Rike Ja, das passt doch sehr gut. Lass uns mal hier die Kurve im Tunnel betrachten: Wir nehmen den Weg, den das Auto fahren soll als Kurve \(\cal C\) von \(A\) nach \(B\). Im mathematischen Modell bewegt sich der Punkt \(P\) auf der Kurve am Boden.

Max Ok, dann muß noch die Kamera über \(P\) kommen, sagen wir mal im Abstand von 1,50m ?

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Rike Ok, und die Schwierigkeit ist hier, das wir am Anfang \(A\) das Ziel \(B\) nicht sehen. Jetzt habe ich einen Vorschlag, wir vergessen die Kurve \(\cal C\) und zeichnen von \(B\) aus die Feldlinien für das elektrische Feld ein, sagen wir mal, \(B\) hat negative Ladung, d.h. alle Linien führen zu \(B\). Dann gehen von jedem Punkt nahe \(B\) Pfeile linear zu \(B\) hin. Und das setzen wir bis zu \(A\) fort, immer in Richtung \(B\). Jetzt bleiben nur noch die Punkte übrig, die \(B\) nicht sehen, wo es keine lineare Verbindung von \(P\) zu \(B\) im Gebiet gibt. Die können wir nach deinem Horizont-Prinzip ergänzen. Am Schluss zeichen wir den Weg \(\cal C\) des Autos ein und haben zu jedem Punkt auf \(\cal C\) einen Vektor \(E\).

Die Kamerasicht

Max Rike, dann kannst Du ja weitermachen, wir können durch den Tunnel fahren, und morgen Berge besteigen …

Rike Danke Max, jetzt gehts mir wieder besser!

 

 

* * *

Übungsaufgaben

  1. Wie sieht die Fahrt aus, wenn die Kamera nicht schwenken kann, wenn sie sich parallel zur Kurve \(\cal C\) in einer geeigneten Höhe bewegt?
  2. Wie sieht man im Video, welche Methode gewählt wurde?

Lösung

1.

 

2. Den Fokuspunkt der Kamera findet man in der Bildmitte. Die Kamera ist in beiden Fällen gleich positioniert, aber verschieden ausgerichtet.