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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

61-titel_schneiderin

Wie viel Geometrie braucht eine Schneiderin?

Carli besucht Max und Rike in Lippe. Sie haben sich in Leipzig kennengelernt. Sie stehen um einen großen Tisch, Carli zeigt ihre Entwürfe.

Max Carli, hi! Schön, dass Du gekommen bist. Osterferien! Aaaah! Hast Du den Aufnahmetest für Deine Lehrstelle geschafft?

Carli Hab' ich nicht! Ich habe den Test gemacht, und es ist rausgekommen, dass ich, höre!, als  Maschinen- und Anlagenführerin Textiltechnik geeignet bin. Ich möchte aber lieber Schneiderin werden.

Max Was nun?

Carli Am liebsten möchte ich virtuelle Schneiderin werden!

Max Hey! Wie geht das?

Carli Ich denke mir virtuelle Klamotten aus!

Max Ja, fang doch mal an!

Carli Am liebsten möchte ich virtuellen Charakteren in höherdimensionalen Räumen Klamotten anziehen.

Max Was?

Carli Fangen  wir mal im \({\mathbf R}^3\) an.

Max Ja!

Arielles Hose

Carli Nehmen wir mal Arielle. Die soll eine Hose für ihren Schwanz bekommen.

61_arielle_01-05

Max Hmm

Carli Für das Schnittmuster mußt Du die Hose auseinanderschneiden und Du erhälst solche Flächen:

61-schnittmuster_hose_01_04

Du musst dann nur noch die Linien 1 und 2 vernähen oder verheften, sagt man auch. Nach dem Verheften hast Du einen Körper, eine richtige Mannigfaltigkeit.

Rike Was ändert sich dabei? Als Schnittmuster ist es doch auch eine Mannigfaltigkeit?

Carli Als Schnittmuster ist es anders. Hier kannst Du geschlossene Kreise im Stoff zeichnen, die man immer im Innern der Fläche zu einem Punkt zusammenziehen kann. Bei der fertigen “Hose” gibt es geschlossene Linien, die im Schnittmuster nicht geschlossen sind.

61_arielle_01-06
Geschlossene Wege in Arielles Hose sind nicht immer im Schnitt geschlossen.

Rike, Max Stimmt!

Rike Dann ist das Nähen eine echt bedeutende Tätigkeit, die ganz neue geometrische Strukturen schafft!

Carli Klar, ich versuche das zu verstehen und die Hosen zu klassifizieren - nach ihren geometrischen Eigenschaften.

Max Was machst Du?

Die Geometrie einer normalen Hose

Carli Ich versuche, möglichst viele unterschiedliche Hosen zu entwerfen. Dazu muß ich ihre Eigenschaften zu verstehen. Schau mal, nehmen wir mal eine normale Hose:

61_render_hose_01-03

Die hat so ein Schnittmuster:

61_schnitt_01-07

Rike Wart' mal, ja, eine Hose!

61_render_hose_zwei_teile_01-03

Max Hier gibt es wieder geschlossene Linien, die im Schnittmuster nicht geschlossen sind.

Stetige Deformationen einer Hose

Carli Richtig. Aber neben dem Verheften kannst Du auch noch virtuell die Ränder zusammenziehen, zum Beispiel die Nummer 4 am Hosenbein!

61_render_hose_04-03
Eine stetige Deformation einer Hose

Max Hmm. Da braucht man sehr dünne Beine? Vielleicht für Meerjungfrauen?

Carli 4' würde ich auch verengen:

61_render_hose_05-04
Stetige Deformationen einer Hose

Max Hmm.

Rike Und noch den Bund?

Carli Ja!

61_render_hose_06-05
Stetige Deformationen einer Hose

Max Carli, das ist keine Hose mehr!

Carli Das haben die Ausbilder auch gesagt. Sie haben mich angeschaut, als wäre ich verrückt, aber Bill Thurston hat solche Mannigfaltigkeiten, die aus stetigen Deformationen von Hosen hervorgehen, weiter pants genannt, eben Hosen.

Dimension einer Mannigfaltigkeit

Rike Sag mal, welche Dimension hat denn diese tolle Hose? Ist die 3-, 2- oder 1-dimensional? Wie erklärst Du denn die Dimension einer Mannigfaltigkeit?

Carli Na, die wird in jedem Punkt (lokal) erklärt. Da, wo ich eine Tangentialebene anlegen kann, da habe ich 2 Dimensionen.

Max Was machst Du?

Carli Das kannst Du Dir so vorstellen: Du nimmst ein seeeehr kleines Bügeleisen. Wenn Du damit  an einem Punkt in zwei Richtungen bügeln kannst, hast Du 2 Dimensionen.

Singuläre Punkte

Max Und wenn die Hose immer dünner wird, so wie hier in Deinem Beispiel?

Carli Dann kannst Du nur noch in eine Richtung glätten. Es gibt einen singulären Punkt \(P\), hier, wo sich die Dimension ändert. Danach wird die Hose 1-dimensional.

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\(P\) ist singulär, denn hier ändert sich die Dimension.

Rike Ok! Dann kannst Du mit der Raumdimension, der Anzahl unterschiedlicher (nicht ineinander stetig deformierbarer) geschlossener Kurven und der Anzahl singulärer Punkte Deine Hosen klassifizieren?

Carli Ja.

Rike Wie viele Hosen hast Du schon entworfen? Ich habe da eine Idee...

Max Ich auch!

* * *

Übungsaufgaben

  1. Wie sieht das Schnittmuster für die letzte Hose aus?
  2. Zeichne grundsätzlich verschiedene geschlossene Kurven in die Hose ein, das sind solche, die sich nicht durch stetige Deformationen ineinander überführen lassen.
  3. Was entsteht, wenn man bei einem Rechteck die jeweils gegenüberliegenden Seiten verheftet?

Lösung

3. Ein Torus