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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

65-titel-loft

Wie Beyoncé zum Diracstoß führt

Rike arbeitet weiter an ihrem Game. Sie hat für ihre aussichtsreiche Arbeit ein Loft finanziert bekommen. Sie will ihren virtuellen Haupthelden eine realistische und physikalisch begründete Ego-Perspektive bzw. Kamera geben. Dazu versucht sie, die Maxwellgleichungen für das elektrostatische Feld zu lösen:

\(\bigtriangledown \cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0}\)

Denn Max und Rike haben herausgefunden, dass das Feld \(E\) damit für jeden Raumpunkt \(P\) die Kamerarichtung richtig beschreibt, so wie Kameramänner das machen würden, wenn \(\rho\) die Raumladungsdichte ist für eine negative Ladung im Zielpunkt und einer positiven Ladung  beim Startpunkt der Kamera.

In gekrümmten Räumen haben sie die Horizontmethode gefunden. Die ist konstruktiv. Doch als die Situationen komplexer werden, kommt Rike nicht weiter. So hat sie Antonija von der Moskauer Lomonossow Universität nach Lemgo geholt.

Die Blickrichtung einer Kamera

Rike Hi, Antonija! Danke, dass Du gekommen bist. Max und ich sind auf das elektrische Feld und die Maxwellgleichungen als Analogon zur Kamerarichtung gekommen, hier...

65_feld_01-03
Linien des elektrischen Feldes \(E\) zwischen zwei Ladungen. das elektrische Feld entspricht der Blickrichung einer Kamera, in Orange der Weg \(\cal C\) der Kamera.

Antonija Hey, das ist cool. Die Maxwellgleichung für das statische elektrische Feld.

Rike Aber nun soll unser Hero nicht immer stur geradeaus laufen, es wär doch ganz nett, wenn er noch etwas zu entdecken hätte, also wenn da ein toller Charakter am Wegesrand stünde!

Max Beyoncé!

Antonija und Rike lachen.

Weitere Attraktoren, die den Blick auf sich ziehen

Rike Also, wenn wir weitere Attraktoren haben – oder Ladungen im elektrischen Feld, auf die die Kamera schaut, dann sieht das so aus:

65_feld_02
Das Feld im Falle zweier Attraktoren. \(\cal C\) ist der Weg der Kamera, \(\cal D\) ist die Trennlinie der beiden Einzugsbereiche der negativen Ladungen.

Die Kamera liegt im Einzugsbereich des Punktes \(C\). Ich weiß nicht, wie die Kamera stetig über \(\cal D\) kommt.

Max Also ich würde zu Beyoncé schauen und sogar rückwärts gehen.

Antonija und Rike lachen.

Das Loreley-Prinzip

Antonija Ach, genau wie bei Loreley! Ist Loreley nicht eine deutsche Sage? Die steckt sehr tief in Max' Unterbewußtsein!

Max Loreley? Beyoncé!

Antonija Hey Max, in dem Augenblick, wo Du anfängst, rückwärts zu schauen, das ist der Punkt \(P_1\), bis zum Schnittpunkt von \(\cal C\) und \(\cal D\): \(P_2\), wirst Du irgendwann stürzen oder wenigsten Deinen Blick plötzlich ändern.

65_feld_03-02
\(\overrightarrow{P_1C}\) steht senkrecht auf \(\cal C\)\(P_1\) ist der Punkt, wo die Kamera anfängt, rückwärts zu schauen. \(P_2\) ist der Schnittpunkt von \(\cal D\) und \(\cal C\). Hier verläßt die Kamera entlang \(\cal C\) den Einzugsbereich von \(C\) und betritt den von \(B\).

Rike Ok, von \(P_1\) bis \(P_2\) ändern wir je nach Hero plötzlich den Blick, das konnte ich mir nicht vorstellen, eine unstetige Lösung der Differenzialgleichung.

Antonija Ja, so ist es.

 

 

Rike Und wie weiter, an welcher Stelle stürzt der Hero?

Max Also ich würde erst bei \(P_2\) stürzen!

Antonija und Rike lachen.

Antonija Wir organisieren das zufällig.

Rike Aber welche Verteilungsfunktion nehmen wir?

Die lineare Zufallsverteilung

Max Ach, ist das nicht so eine Art lineare Verteilung? Am Anfang schaut jedermann auf Beyoncè, erst, wenn wir anfangen, vorwärts zu gehen und rückwärts zu schauen, wird der eine oder andere sich das anders überlegen. Die Wahrscheinlichkeit, bei \(P=P_2\) die Richtung zu ändern, wäre am größten und bei \(P=P_1\) am kleinsten:

\(f(P) = \frac{\Vert P-P_1\Vert}{\Vert P_2-P_1\Vert}\)

65-diagramm-linear_06
Lineare Wahrscheinlichkeitsdichte \(f(P)\).

Rike Ok, hört sich vernünftig an.

Antonija Ach, wir hatten da im Studium eine Verteilung, die testen wir, die kann die beiden Männertypen gut beschreiben, sowohl die, die immer den Erfordernissen der Situationen nachkommen und den ... strastnij, wie sagt Ihr?

Rike Leidenschaftlich, geil?

Max Leidenschaftlich!

Rike Also sag', wie geht die Verteilung?

Die Betaverteilung

Antonija Das ist die Betaverteilung. Wir normieren erst mal die Punkte \(P_1\) und \(P_2\) auf der Geraden so, dass

\(P_1 = 0\)

\(P_2 = 1\)

Die Dichte der Verteilung ist durch

\(f(x, \alpha, \beta) = \frac{1}{B(\alpha,\beta)} x ^{\alpha-1} (1-x)^{\beta -1}\) für \(x\in (0,1)\)

\(f(x, \alpha, \beta) = 0\) sonst

definiert, \(\alpha\) und \(\beta\) sind postive Zahlen. \(B\) ist die Betafunktion, die berechnet sich aus der Gammafunktion...

Max Mach doch mal ein Beispiel für – wie hast Du gesagt? Erfordernissen der Situation...

Antonija Das sind die, die mit größer Wahrscheinlichkeit gleich am Anfang, bei

\(P_1 = 0\)

ihre Blickrichtung ändern, da setzen wir \(\alpha = 1\) und \(\beta >1\):

65-diagramm-b_10_04
Wahrscheinlichkeitsdichte der Betaverteilung für \(\alpha=1, \beta=10\).

Max Ok, Spießer eben.

Rike Und die anderen, da ist es umgekehrt?

Antonija Ja, \(\beta =1, \alpha\) sehr groß.

65-diagramm-a_100_09
Wahrscheinlichkeitsdichte der Betaverteilung für \(\alpha=100, \beta=1\).

Der Diracstoß

Max Hey Antonija, das ist schon nicht schlecht, aber bei mir gibt es nur den Fall, wo in

\(x=1\)

die ganze Wahrscheinlichkeit liegt, sonst nirgends.

Antonija  Ok, das nehmen wir mal als Spezialfall, du siehst ja, dass du die Dichte \(f(x)\) nicht korrekt aufschreiben kannst, das ist so eine Art Diracstoß.

65-dirac_06
Symbolische Darstellung der Dirac-Verteilungsdichte \(f\)

Max Kenn ich schon, den integriert man am besten!

Antonija Hey, ja, das machen wir, und finden die Verteilungsfunktion \(F\) mit dem Sprung bei 1 bzw. \(P_2\):

65-dirac_F_07
Dirac-Verteilungsfunktion \(F\)

Rike Das ist gut, jetzt müssen wir nur noch die Parameter \(\alpha\) und \(\beta\) für die anderen Spieler aus dem Spielverhalten bestimmen.

Max Da habe ich eine Idee...

* * *

Übungsaufgaben

  1. Kann die lineare Verteilung auch als Betaverteilung dargestellt werden?
  2. Kann \(P_1\) auch hinter \(P_2\) liegen? Wie berechnet man dann die Wahrscheinlichkeit des Sturzes?
  3. Können \(P_1\) und \(P_2\) zusammenfallen?

Lösungen

  1. Ja, \(\alpha = 2, \beta=1.\)
  2. Ja, das kann passieren. Da sich in \(P_2\) der Einzugsbereich ändert, kommt es hier nicht zum Rückwärtsschauen. Die Wahrscheinlichkeit ist 0.65_feld_ueb
  3. Ja, solche Konstellationen gibt es.