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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

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Wie lang ist Josef Albers' Weg?

Lila hat von einer Josef-Albers-Ausstellung in Kalkutta gehört. Josef Albers (1888-1976) gehört zu den Bauhaus-Künstlern. Er hat u.a. geometrische Objekte gemalt und die Wirkung von Farben analysiert. Lila interessiert sich sehr für europäische Kulturen und freut sich auf die Bilder mit den farbigen Quadraten. Sie fragt Max, was er denn von Josef Albers halte. Max war schon mal in Bottrop, hat in seinem Studium schon mal von Albers gehört, aber seine Begeisterung hält sich in Grenzen. Doch als Lila mit ihm ins Museum will, kommt er gern mit.

Homage to the Square

Josef Albers, On the way – Homage to…
Albers, Josef. 1888–1976. “On the way – Homage to the Square”, 1959. Öl auf Leinwand, 101,6 × 101,6 cm. Inv. NG 45/80 Berlin, SMB, Nationalgalerie. akg-images / Andrea Jemolo, ©The Josef and Anni Albers Foundation/VG Bild-Kunst, Bonn 2018

Lila Das hier, Homage to the Square – On the way, gefällt mir am besten.

Max Was gefällt Dir denn?

Lila Es hat warme Farben. Es wirkt ausgeglichen und gleichzeitig anregend.

Seitenverhältnisse

Max Hmm, Josef Albers hatten wir mal im Studium. Die Seitenverhältnisse sind wohl gut berechnet, warte mal, ja, es sind

1\;:\;2\;:\;\; 4\;:\;2\;:\;1\; \mathrm{ LE }

in der Waagerechten und

1,5\;:\;3\;:\;4\;:\;1\;:\;0,5\; \mathrm{ LE }

Längeneinheiten in der Senkrechten.

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Es ist interessant, dass das Orange die anderen beiden Farben dominiert. Es hat die kleinste Fläche, 4 mal 4,

F_{orange}\;=\;4\;\cdot\;4\;=\;16 \; \mathrm{ LE },

das Gelb hat eine Fläche von 8 mal 8 minus 4 mal 4, also

F_{gelb}\;=\;8\;\cdot\;8\;-\;16\;=\;64\;-\;16\;=\;48 \; \mathrm{ LE },

und wenn ich das mal abfotografiere und die Helligkeits- und Sättigungswerte bestimme, so sind das Gelb und das Orange nahezu gleich, das Orange hat ist nur wenig dunkler und hat eine Sättigung von nur 1 % mehr.

Lila Weißt Du, das muss dann am Farbton liegen. Orange selbst ist viel aufregender als Gelb. Aber warum heißt das Bild „On the way“?

Max Hm, keine Ahnung.

Verbindende Linien als Fluchtlinien

Lila Ich finde, dass es eine perspektivische Wirkung hat. Wenn wir die Eckpunkte der Quadrate verbinden, dann schneiden sie sich alle in einem Punkt S, als wären es perspektivische Linien und der Schnittpunkt wäre der Fluchtpunkt. Der Fluchtpunkt könnte auch der Fokuspunkt einer Kamera sein, Max?

Max Klar!

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In der Mitte des Bildes liegt der Schnittpunkt S der Geraden - wie ein zentrierter Fokuspunkt einer Kamera. Die 3 Ebenen sind hier etwas transparent, um hindurchzuschauen.

 

Lila Hey, lass uns doch die Quadrate mal hintereinander stellen, also in der Vorstellung, alle 3 Quadrate sind gleich groß. Lass uns so draufschauen, dass parallele Linien nun Fluchtlinien werden:

III_23_camera_02_10_06
Lilas Vorschlag: 3 gleichgroße (transparente) Ebenen stehen hintereinander in gewissem Abstand. Wenn man von vorn (in der Zentralperspektive) darauf schaut, wirken die hinteren kleiner und ergeben so Albers Bild.

 

Abstandsbestimmung

Könnte man dann ausrechnen, wie die Abstände sein müssen, damit man die Proportionen von Albers erhält?

Max Hm, okay, ich zeichne mal ein Schema, von oben, mit einer Kamera als Referenzpunkt. In das Bild kommt ein neues Koordinatensystem, mit dem Nullpunkt genau im Objektiv der Kamera, hier!

III_23_camera_04_11_05
a ist die Breite eines Quadrates, a' die fotografierte Breite auf dem Sensor. d ist der Abstand des Quadrates zur Kamera, d' ist der Abstand des optischen Mittelpunktes der Objektives zum Sensor, die Brennweite.

Lila Klar, Max, das ist gut. Jetzt sehe ich, dass

\tan \frac{\alpha}{2}\;=\;\frac{\frac{a}{2}}{d}\;,

und andererseits ist

\tan \frac{\alpha}{2}\;=\;\frac{\frac{a^\prime}{2}}{d^\prime}\; .

Wenn wir beides gleichsetzen, erhalten wir

\frac{a}{d}\;=\;\frac{a^\prime}{d^\prime}

ad^\prime \;=\;a^\prime d

oder

a^\prime d\;=\;a d^\prime

Wie groß ist d', was meinst Du, Max?

Max Na, lass uns mal 40 mm nehmen. Das erste, grüne Quadrat ist ca. 1 m breit, das steht hier. Um es so zu fotografieren, wie Du es Dir vorstellst, mit dem Schnittpunkt der Linien im Bildmittelpunkt, muss ich ein paar Schritte nach hinten gehen, naja, da wären so

d\;=\;2,60\; \mathrm{ m},

beim Handball lernt man sehr gut, Entfernungen zu schätzen.

Lila Gut, dann haben wir

a\;=\;1 \; \mathrm{ m }

d^\prime\;=\;40 \; \mathrm{ mm }\;

Für das grüne Quadrat kriegen wir

a^\prime \;=\;\frac{a d^\prime}{d}\;=\;   \frac{1\; \mathrm{ m }\;\;\cdot\; 40\; \mathrm{ mm }\;}{ 2,60\; \mathrm{ m }\;}\;=\;15,4\; \mathrm{ mm }\;

III_23_camera_02_11_06

Max Okay, das könnte man sogar prüfen, wenn ich das Bild genauso fotografiere, dass der Schnittpunkt in der Mitte ist. Und weiter?

Lila Jetzt können wir ausrechnen, wie weit die anderen Ebenen von der grünen entfernt sind: Der Abstand der gelben Ebene von der Kamera ist

d_{gelb}\;=\;\frac{a_{gelb}\; d^\prime}{a^\prime_{gelb}}\;.\;

Die gelbe Ebene ist im Bild 80 % so lang wie das grüne, im 3d-Bild ist sie auch 1 m breit,

d_{gelb}\;=\;\frac{1\; \mathrm{ m }\;\;\cdot\; 40\; \mathrm{ mm }\;}{0,8\;\cdot\;15,4\; \mathrm{ mm }\;}\;=\;3,20\; \mathrm{ m }\;

Das heißt, es ist 60 cm hinter dem grünen. Wow! Und das orange?

Max Das ist 40 % vom grünen lang.

Lila Ja, das ergibt:

d_{orange}\;=\;\frac{a_{orange}\; d^\prime}{a^\prime_{orange}}\;.

d_{orange}\;=\;\frac{1\; \mathrm{ m }\;\cdot\; 40\; \mathrm{ mm }\;}{0,4\;\cdot\;15,4\; \mathrm{ mm }\;}\;=\;6,40\; \mathrm{ m }\;

Der Abstand vom Grünen wäre 3,80 m und vom gelben 3,20 m.

Max Okay, jetzt verstehe ich „On the way“! Albers ist auf dem Weg von der Kamera zu den drei Ebenen bis hin zum Schnittpunkt S. Der liegt im Unendlichen, sodass er immer „on the way“ ist!

Lila Haha! Typisch deutsch!

***

Übungsaufgaben

  1. Überprüfe im Foto, dass a' = 15,4 mm.
  2. Berechne den Schnittpunkt S!
  3. Sind die Entfernungen der Ebenen untereinander von der Brennweite abhängig?
  4. Sind die Entfernungen der Ebenen untereinander von der Entfernung der Kamera von der grünen Ebene abhängig?

Lösungen

  1. III_23_camera_01_vollformat_11_06
    Bild im Vollformat 4256 x 2832 px, die 3 Ebenen sind hier teilweise transparent.

    Beachte, dass die Entferung der Kamera zur grünen Ebene nur geschätzt ist! Sie ist tatsächlich d = 2,635 m.

  2. S = (50,8; 26,35) im Originalbild in cm.
  3. Nein, solange das Bild im Ganzen fotografiert werden kann.
  4. Ja.

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