Rike, Charly und Ben wollen nun unbedingt herausfinden, ob es Gesetzmäßigkeiten beim 2-Urnen-Spiel gibt. Rike hat beim letzten Mal nicht Recht gehabt mit ihrer Schwingung. Jetzt hinterfragt sie Bens Berechnungen.
Rike Ben, wie hast du denn die Roulette-Maschine programmiert? Wie funktioniert denn dein Zufallsgenerator?
Zufallsgenerator in Python
Ben Ich hab‘s in Python programmiert, hier schaut mal, mit
randint(1, 100)
müsste ich eigentlich eine gleichmäßig verteilte Zufallszahl von zwischen 1 und 100 bekommen.
Rike Kann man das denn testen?
Ben Ich kann dir die Zufallszahlen ausgeben.
bei der Simulation von Roulette-Würfen mit der Python-Funktion randint bei 2000 Versuchen. 
Rike Hmm? Ist das gleichmäßig verteilt?
Charly Lass uns doch die Häufigkeit auszählen, also wie oft jede Zahl bei deinen 2000 Würfen vorkommt. Da gehst deine Zufallsliste Schritt für Schritt durch, zählst, wie oft jede Zahl vorkommt und hältst das in einer neue Liste für die Häufigkeiten fest.
Ben Okay!
der einzelnen Zahlen von 1–100.
Chi-Quadrat-Test
Charly Ich hatte schon mal damit zu tun. Um zu entscheiden, ob eine Zufallsgröße eine bestimmte Verteilungsfunktion hat – meist gibt es außerdem noch verschiedene Parameter – fragt man einfach die Differenz der Stichprobe zur Verteilung ab. Statt des Betrages nimmt man das Quadrat…
Rike Ach, der alte Gauß! Die Methode der kleinsten Quadrate?
Charly Ja, das steckt dahinter, doch der Test heißt Chi-Quadrat-Test.
Rike Okay.
Charly Also 
sollen mal die Häufigkeiten von Bens Zufallszahlen sein. Die Gleichverteilung hätte zu jedem Ereignis 
die Wahrscheinlichkeit 1/100:
und die Häufigkeit dieser gleichmäßig verteilten Ereignisse bei 2000 Würfen wäre dann
Rike Okay.
Charly Jetzt berechnen wir die Quadrate der Differenz, wichten sie mit 
und summieren alles auf:
Rike Ja, schön, klar, aber was fangen wir mit dem Ergebnis an? Wann ist das Ergebnis akzeptabel?
95 %-Akzeptanz des Chi-Quadrattests
Charly Na, da schaust du in der Tabelle der Chi-Verteilung nach. Wenn wir 
mögliche Werte haben, dann definiert man dazu den Parameter 
für die Anzahl der Freiheitsgrade:
und für eine 95 %-Sicherheit findest du den Parameter
in der Literatur, dann berechnest du den Referenzwert
Wenn dann deine Summe 
der kleinsten Quadrate kleiner 
ist:
dann haben wir eine 95 %-Garantie für die Gleichverteilung.
Rike Okay. Ben, kannst Du das ausrechen?
Ben Okay, mache ich. Ich kriege
Dann ist ja wohl mein Zufallsgenerator wirklich gleichverteilt! Mit 95 %-er Wahrscheinlichkeit! Was wollt ihr noch?
Charly Stimmt, Ben, du hast eine Super-Gleichverteilung.
Gesetzmäßigkeiten bei den Surplus-Werten
Rike Ja, hast du. Gut. Jetzt können wir testen, ob die Überschuss/Surplus-Werte für Charlys Urne auch eine Verteilung haben. Wie wäre es denn mit der Normalverteilung?
Ben Okay, Charly, geht denn der Chi-Quadrat-Test auch für andere Verteilungen?
Charly Na, klar.
Ben Okay, also die Normalverteilung für die Surpluswerte. Dann muss ich wieder die Häufigkeiten bestimmen. Rike, welchen Erwartungswert soll denn die Normalverteilung haben, und welche Standard-Abweichung?
Rike Hmm, dann nimm doch den Erwartungswert und die Standardabweichung deiner Stichprobe.
von 2000 Roulette-Wurf-Simulationen für den Überschuss 
von Charlys Urne. 
Ben Okay. Das variiert dann etwas mit jedem Versuch. Hier habe ich jetzt mal:
Welche Sicherheit soll ich nehmen?
Rike Na, 95 % wäre doch ganz gut?
Ben Okay.
oder . In Gelb die Simulation von Bens Roulette mit den ganzzahligen Werten . In Blau die Häufigkeitsverteilung der Normalverteilung für reelle Werte .Ich kriege für meinen Versuch und Charlys Formel mit 200 Freiheitsgraden
und die Stichprobe ergibt mit ihrem Erwartungswert und ihrer Standardabweichung
Der Surplus-Wert ist normalverteilt!
Rike Also ist das Chi-Quadrat-Kriterium ist erfüllt! Die Surplus-Werte sind normalverteilt? Richtig?
Ben Ja! Zu 95 %!
Charly Super!
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Übungsaufgaben
- Wie groß ist der Erwartungswert der Gleichverteilung und die Standardabweichung?
- Teste selbst verschiedene simulierte Urnenwürfe!