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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

IV_06_titel_mikrowelle

Mikrowelle und Smith-Diagramm

Rike geht zu ihrem Nachbarn Ufuk, ein kaputtes Notebook unter dem Arm.

Rike Hi, Ufuk, ich glaube, ich habe eben mein Läppi zerschossen. Ich wollte mal mit der Mikrowelle testen, ob ich unser WLAN-Netz erweitern kann. Ich habe ein Loch in das Gerät gebohrt und ein Antennenkabel mit Antenne reingesteckt. Dann hat es geknallt und mein Laptop hat seinen Geist aufgegeben. Blöde Sache.

Ufuk (atemlos) Was hast Du gemacht, ich fasse es nicht!! Noch nie was von Anpassung gehört? Das Magnetron muss doch mit seinem konjugiert-komplexen Ausgangswiderstand abgeschlossen werden, da musst Du einfach ein Anpassungsnetzwerk zwischenschalten, indem Du im Smith-Diagramm guckst, wie Du von Deiner Antenne mit Kabel, die in der Mitte des Diagramms liegt und ...

Rike Stop mal! Was sagst Du, ich soll ein Smith-Diagramm nehmen? Was ist das?

Konforme Abbildung

Ufuk Kennst Du das nicht? Ne‘ konforme Abbildung!

z \rightarrow f(z) \;=\; w\;=\;\frac{z\;-\;1}{z + 1}

ziemlich coole Sache!

Rike Stopp, das ich mir erst mal genauer anschauen, gib mir eine Chance, Dich zu verstehen!

Ufuk Klar! Hier!

IV_06_2019_smith_01-02
Smith-Diagramm von Wdwd auf https://de.wikipedia.org/wiki/Smith-Diagramm#/media/File:Smith_chart_gen.svg , 18.02.2019

Rike Die Einsen sind ja komisch. Ist das geeicht?

Ufuk Richtig! Wir rechnen mit komplexen Widerständen, Spulen und Kondensatoren! Alle liegen in \mathbf{C}. Aber, wie Du schon erkannt hast, haben wir uns auf eine Referenz geeinigt, vorm Smith-Diagramm steht eine Skalierung. Und zwar nehmen wir Techniker

z_0^*\;=\;50\; \Omega\; \longrightarrow \; z_0\;=\;1

Rike Gut. Dann ist

z \rightarrow w\;=\;\frac{z\;-\;1}{z + 1}

eine Möbiustransformation mit reellen Koeffizienten. Ganz offensichtlich bildet sie reelle z in reelle w ab,

z\;=\;1 \; \longrightarrow \; w\;=\;0,

z\;=\;0 \; \longrightarrow \; w\;=\;-1

und bei

z=-1

haben wir eine Polstelle.
Der Einheitskreis wird auf die imaginäre Achse abgebildet.

IV_06_moebius_02-02

Deine Transformation bildet sogar die obere Halbebene von \mathbf{C} auf die obere Halbebene an. Und natürlich werden Kreise und Geraden, also verallgemeinerte Kreise wieder in verallgemeinerte Kreise abgebildet.

UfukKann ich jetzt weiter?

Rike Na los!

Herleitung der Schaltung im Komplexen

Ufuk Wir fangen mit dem Eingangswiderstand

z_0= 1\;+\;0\;\cdot\;j

an. Den zeichnen wir ins Diagramm. Das ist unsere Referenz und gleichzeitig der Widerstand z_0. Für Deine Mikrowelle mit einem Magnetron müssen wir ein geeignetes Anpass-Netzwerk finden, das die Antenne an das Magnetron leistungsmäßig anpasst. Das Magnetron liegt beim Punkt z_4, da wollen wir hin. Das ist für solche Aufgaben gerade gemacht.

Rike Okay.

IV_06_schaltung_01-02

Ufuk Der komplexe Widerstand besteht natürlich aus physikalischen Widerständen, Kondensatoren und Spulen. Zuerst schalten wir einen Kondensator in Reihe dazu. Dazu gehen wir auf der Kurve von z_0 aus, sagen wir mal um

z_C\;=\;- 1,2.

Dann haben wir

z_2\;=\;1-j\;\cdot\;1.2

IV_06_2019_smith_01-04

Rike Okay.

Ufuk Jetzt spiegelst Du z_2 an z_0 und kriegst y_2.

y_2\;=\; \frac{1}{z_2}

 = \;\frac{1}{z_0\;+\;z_C\;j}

 = \;\frac{1}{1\;-\;j 1.2}

=\; 0.4\;+\;j \;\cdot\;0.5

Das ist der Leitwert des Kondensators und des Widerstandes in Reihe geschaltet.

Rike Na gut!

Ufuk Jetzt kommt die Spule! Die wird parallel dazu geschaltet, kriegt auch einen Leitwert. Wir addieren wieder

- 0.2\;\cdot\; j

und das ergibt

y_L\;=\;-j \;\cdot\;0.2\;=\;y_2\; -\;z_4,

also

z_4\;=\;0.4\;+\;j\;\cdot\; 0.3,

und schon sind wir im Zielpunkt!

y_L\;=\;-j\;\cdot\; 0.2

ist der Leitwert der Spule. Durch Spiegelung von y_L an z_0 kriegen wir

z_L\;=\;  \frac{1}{y_L}

= \frac{1}{-j\;\cdot\;0.2}

= \;j \;\cdot\;5

Ich bin fast fertig!

Rike Echt?

Skalierung der physikalischen Größen

Ufuk Jetzt müssen wir nur die nicht genormten Größen berechnen!

Die Widerstände:

|X_L|\;=\;z_0^* | z_L |\;=\;50\; \Omega\;\cdot\;5\;=\;250 \; \Omega

|X_C|\;=\;z_0^* | z_C |\;=\;50 \;\Omega\;\cdot\;1.2\;=\;60 \; \Omega

Die Induktivität können wir jetzt mit allgemeinen Formeln für die Bauteile berechnen:

|X_L|= 2\pi f L

L\;=\;\frac{|X_L|}{2\pi f}

Nehmen wir mal

f\;=\;2.4\;\cdot\; 10^9 \;\mathrm{Hz}

für Deine Mikrowelle?

Rike Gut.

Ufuk Dann kriegen wir eine Induktivität von

  L\;=\;\frac{250 \;\Omega}{2\pi \; 2.4 \;\cdot\;10^9\; \mathrm{ Hz}}

= 16.5\;\cdot\; 10^{-9} \;\;\mathrm{ H}

= 16.5\; \mathrm{ nH}

Und für die Kapazität haben wir

   |X_C|\;=\;\frac{1}{2\pi fC}\;,

also

C\;=\;\frac{1}{2\pi f| X_C|}

\;=\;\frac{1}{2\pi\; 2.4\;\cdot\; \;10^9 \;\mathrm{Hz}\; 60\; \Omega}

= 1.1\;\cdot\; 10^{-12} \; \mathrm{F}

= 1.1\; \mathrm {pF}

Final

So müsste das klappen! Hier die fertige Schaltung zwischen Magnetron und Deiner Antenne:

IV_06_schaltung_02-03

Rike Okay, bist Du Dir sicher, dass das passt?

Ufuk Klaro!

Rike Danke, dann probier‘ ich’s mal!

***

Übungsaufgabe

Prüfe, dass der Einheitskreis in die imaginäre Achse transformiert wird.

Lösung

Es ist

  f(e^{j\varphi}) \;=\;j \;\cdot\;\frac{\sin \varphi}{1 + \cos \varphi}

Jochem Marietta

Jochem Berlemann und Marietta Ehret schreiben manchmal gemeinsam.