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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

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Die unglaubliche Skipiste

Nachdem Charly von seinem Trainingslager zurückgekehrt ist, wundert er sich über Rikes neue Haarfarbe und Frisur. Rike freut sich und kann es kaum erwarten, dass er ihr die unglaubliche Skipiste vorführt. Sie ist Teil der Abiaufgabe für Berlin und Brandenburg vom letzten Jahr, die die Beiden schon seit einiger Zeit besprechen. Sie geht so:

Die originalen Teilaufgaben zur Skipiste

In einer Trainingshalle für Skiläufer ist eine Skipiste angelegt, auf der kurze Anstiege und Abfahrten trainiert werden können. Das Profil dieser Skipiste wird im Intervall [−7; 0] durch den Graphen der Funktion f0,5 modelliert. In den Intervallen [0; 4] und [4; 5] erfolgt die Modellierung der Profilkurve durch zwei quadratische Parabeln. Dabei werden die Parabeln so gewählt, dass die Profilkurve keinen Knick hat. Der Boden der Trainingshalle wird in der gleichen Profilansicht durch die x-Achse beschrieben.
In der Abbildung 3 ist die Profilkurve der Skipiste skizziert. Es gilt: 1LE = 5m.

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Abb. 3 nach: Mathematik Abitur 2024. Leistungskurs. Berlin und Brandenburg. Prüfungen und Lösungen, L&K development GmbH, Berlin, 2023, S. 45

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Newtons Original und Rikes Anwendung

Rike hat lange über Newtons Vorwürfe nachgedacht: Sie spinnt jawohl mit ihrer Forderung, die 1. Ableitung der Funktion f(y) an der ersten Näherung y0 soll ungleich Null sein:

f(y0) ≠ 0,

hat Newton gerufen. Das ist doch Standard bei diesem Verfahren und geometrisch offensichtlich. Eine waagerechte Tangente kann keinen Schnittpunkt mit der y-Achse haben.

Als Charly mit seiner Klasse in ein Volleyball-Trainingslager fährt, färbt sie sich die Haare silbergrau, deckt sich mit Chips und Cola ein und sucht Newtons Original. Bloß gut, dass die University of Cambridge Newtons Arbeiten digitalisiert und online gestellt hat! Sie sieht fast die gesamte Abhandlung Fluxes durch, das ist Newtons Darstellung der Differential- und Integralrechnung, und findet schließlich nach einem Hinweis von Wiki das Papier:
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Die Entfernung der allerbesten Skipiste zum Mittelpunkt der Erde

Rike hat in Erwartung der Berechnung einer Skipiste in einer abwechslungsreichen Landschaft mit starken Abfahrten ins Ungewisse die ganze Nacht vom Skifahren geträumt. Sie ist immer wieder ins "schwarze Loch" gefahren und mehrfach hochgeschreckt. (Charly hatte ihr zwar das File mit der Aufgabe nicht gegeben, aber sie dann doch irgendwie beruhigt.) Ob sie wohl die Länge der Strecke ins "schwarze Loch" ausrechnen soll? Oder die Geschwindigkeit eines Skifahrers oder den Abstand von zweien?

Charly Nein, Rike, diese Abfahrt für große x und negative a brauchst du nicht zu fahren! Die Strecke auf dem Höhenzug fmax, den du ausgerechnet hast, ist doch viel schöner: freier Blick nach vorn, rechts und nach links, das ist die allerbeste Piste!

Rike Okay, fmax  ist die allerbeste Piste! Charly, nun sag schon, was ist die nächste Teilaufgabe? Ich hätte tausend verrückte Vorschläge!

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Die Trainingsstrecken-Aufgabe

Charly sitzt an diesem verregneten und windigen Osterferientag an einer „sportlichen“ Abiaufgabe. Es ist eine typische Analysis-Aufgabe über eine Funktionenschar mit einem Parameter. In dieser Aufgabe werden Nullstellenberechnung, Flächenberechnung, Kurvendiskussion, topologische Eigenschaften, numerische Näherungsverfahren, Zahlentheorie und nicht zuletzt eine Anwendung kombiniert. Die Aufgabe, die einen wissenschaftlichen Taschenrechner als Hilfsmittel zulässt, hat 13 Teilaufgaben. Man kann insgesamt für die Aufgabe 50 Punkte erhalten. Da kommt Rike dazu.

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Ein 16x16-Gleichungssystem für die Spline-Aufgabe

– Fortsetzung der Lösung der Spline-Aufgabe

Rike Schade, dass der Ansatz für größere nicht aufgeht. Doch wenn dir die Nullstelle bei so wichtig ist, dann machen wir eben einen neuen Ansatz und fordern, dass das Spline genau diese Nullstelle oder besser ausgedrückt: genau diese Stützstelle hat.

Spline-Ansatz mit 4 Stücken

Charly Ja, das ist mir wichtig. Sehe ich das richtig, dass wir bei noch einmal stückeln?

Rike Ja.

Charly Warte, dann haben wir 4 Polynome.

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Neuer Spline-Ansatz mit 4 Stücken

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Die schräge Ellipsenaufgabe

Als Rike vom Joggen wiederkommt, findet sie Charly ganz verzweifelt. Der Stundenplan fürs neue Schuljahr steht so gut wie fest und wie es aussieht, soll Charly neben Sport wieder einen Abikurs in Mathe übernehmen. So hat er sich weitere Abiaufgaben von Berlin-Brandenburg angeschaut, so auch die (hilfsmittelfreie) Analysis-Aufgabe für den Leistungskurs von 2021. In dieser Aufgabe geht es darum, aus einer Grafik für eine Stammfunktion die zugehörige Funktion

zu finden und deren Eigenschaften zu diskutieren.

Die grafische Darstellung der Funktion F

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Grafisch gegebene Stammfunktion . Abbildung nach [Ott, Schomburg, 2021]
So soll der Funktionswert von an der Stelle „näherungsweise“ bestimmt werden. Er zeigt Rike die Aufgabe.

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Rikes seriöse Lösung der IGA-Aufgabe

Rike hat schon gemerkt, dass ihre zufällige Anordnung von 6 Blumen pro Quadratmeter Charly in der IGA-Aufgabe nicht gefallen hat, ja, dass diese Lösung nicht nur Charly nicht gefällt sondern auch auf der IGA 2017 keinen Beifall gefunden hätte. So überlegt sie, ob es nicht doch eine seriöse Lösung gibt. Sie erinnert sich, dass Gärtner häufig diagonale Anordnungen benutzen. Eine Diagonale ergäbe so ein 5er Muster. Weiterlesen