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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

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Wie Schwerpunktberechnung vor Schaden schützt

Rike hat ihr Game nun beendet und muss ihr Loft räumen. Sie hat sich rechtzeitig um einen neuen Job gekümmert und hat Anschluss an die Startup-Szene in Bielefeld gefunden. Heute nun zieht sie von Zuhause aus. Max hilft ihr natürlich. Sie haben einen kleinen Lieferwagen gemietet. Doch auf der Landstraße nach Bielefeld gab es eine unübersichtliche Stelle mit einer blöden Linkskurve, plötzlich war dann Gegenverkehr und sie mussten ausweichen.

Rike Oh Gott, zum Glück hat uns der Bauer geholfen.

Max Ja, zum Glück wohnt mein Opa hier bei Bielefeld.

Rike Naja das Wichtigste ist, dass dem Computer nichts passiert ist.

Rikes Ladestrategie

Max Hast du den Schwerpunkt der Ladung nicht richtig berechnet?

III_01_kisten_13

Rike Ich habe das Fahrrad nach links gestellt, weil es angegurtet werden kann, daneben die normalen Umzugskartons, dann meine Hardware und ganz rechts die Bücherkisten. Die PCs und Bildschirme sollten gut geschützt sein. Das war mir wichtig.

Max Wollen wir den Schwerpunkt jetzt zusammen berechnen?

Rike Okay, das muss wohl sein. Also, ich habe ein verpacktes Fahrrad:

III_01_kisten_12
Spezialkiste mit m_1\;=\;20\; \mathrm{kg}.

Max Okay, gut verpackt.

Rike Daneben habe ich normale Umzugskartons, 10 Stück:

III_01_kisten_u_08
Umzugskarton mit m_2\;=\;20\; \mathrm{ kg}.

dann meine Hardware in 6 Standardkisten:

III_01_kisten_pc_09
PC-Verpackung mit m_3\;=\;15\; \mathrm{kg}.

Und zum Schluss die Bücherkisten, das sind, wart‘ mal, 12 Stück:

III_01_kisten_b_06
Bücherkiste mit m_4\;=\;40\; \mathrm{kg}.

Berechnung der gesamten Ladungsmasse

Max Wollen wir erst mal die Gesamtmasse bestimmen?

Rike Ja klar. Die Masse M der Ladung ist die Summe der geladenen Massen m_i:

M\;=\;1\;\cdot\;m_1\;+\;10\;\cdot\;m_2\;+\;6\;\cdot\;m_3\;+\;12\;\cdot\;m_4

  \;=\;20\; \mathrm{kg}\;+\;200\; \mathrm{kg}\;+\;90\; \mathrm{kg}\;+\;480\; \mathrm{kg}

  \;=\;790\; \mathrm{kg}

Max Ganz ordentlich!

Rike Weißt Du, die Massen sind in die Wagentiefe nahezu gleichmäßig verteilt. In jeder Kiste habe ich meine Sachen auch recht gleichmäßig verteilt.

Max Okay, typisch mathematisch.

Rike Okay. Den Schwerpunkt S\;=\;(x_S,\;y_S,\;z_S) muß man in jeder Koordinate einzeln berechnen. Für y_s haben wir schon mal die Mitte des Ladungsraumes. Zuerst fangen wir mit dem Schwerpunkt in seitlicher Richtung, also in x-Richtung an. Dort wirkt nämlich die Fliehkraft in der Kurve, genau das ist uns ja passiert.

Max Der liegt bestimmt nicht in der Mitte!

Schwerpunkt als Massenmittelwert

Rike Richtig! Da habe ich mir gedacht, wir nehmen den Begriff des Mittelwertes.

Max Ja gut, das ist der Massenmittelpunkt.

Rike Jetzt brauchen wir die Massenverteilung entlang der x-Achse, so eine Art Dichte \varrho(x) pro Länge. Für diese Dichte wollen wir den Mittelwert berechnen. Das ist wie beim Erwartungswert E(X) einer Zufallsgröße X mit der Dichteverteilung \varrho(x)

E(X)\;=\;\int_{-\infty}^{+\infty} x \varrho(x) dx

Weil unsere Dichte \varrho(x) nicht normiert ist, müssen wir das Integral nur noch durch die gesamte Masse M teilen. \varrho(x) hat natürlich die Eigenschaft, dass

M\;=\;\int_0^{L_x} \varrho(x) dx

Also ist

x_S\;=\;\frac{1}{M}\int_0^{L_x} x \varrho(x) dx

Max Okay. Aber wie kriegen wir die Dichte?

Rike Das ist nicht schwer.

Eindimensionale Ladungsdichte

III_01_dichte_01_11
Die Massendichte \varrho in x-Richtung.

 

Die Dichten \varrho_i bekommst Du, indem Du die Massen m_i der verschiedenen Boxen multipliziert mit ihren Anzahl n_i durch ihre Breite L_i dividierst:

\varrho_i\;=\;\frac{m_in_i}{L_i},\;\;i=1,\;\dots\;,\;N

Max Verstehe. Dann ist das Integral doch lösbar, wenn \varrho_i nur konstante Werte in den Stückchen annimmt?

Herleitung der Formel für xS

Rike Max, stimmt! Wir kriegen:

x_S\;=\;\frac{1}{M}\;\int_0^{L_x}\; x \varrho(x) dx

\;=\;\frac{1}{M}\;\int_0^{L_x}\; \sum_{i=1}^N x \varrho_i(x) dx

\;=\;\frac{1}{M}\;\int_0^{L_x}\; \sum_{i=1}^N x \frac{m_in_i}{L_i} dx

\;=\;\frac{1}{M}\; \sum_{i=1}^N \; \frac{m_in_i}{L_i}\; \int_0^{L_x} x dx

\;=\;\frac{1}{M}\; \sum_{i=1}^N \; \frac{m_in_i}{L_i}\; \frac{x^2}{2}\;|_{x_{i-1}}^{x_{i}

\;=\;\frac{1}{2M}\; \sum_{i=1}^N\;  \frac{m_in_i}{L_i}\; (x_{i}^2\;-\;x_{i-1}^2)

Jetzt nehmen wir den dritten binomischen Satz

b^2\;-\;a^2\;=\;(b\;-\;a)(b\;+\;a)

und kommen weiter:

x_S\;=\;\frac{1}{2M}\;\sum_{i=1}^N  \frac{m_in_i}{L_i}\;(x_{i}\;-\;x_{i-1})\;\cdot\;(x_{i}\;+\;x_{i-1})

Wegen

x_{i}-x_{i-1}\;=\;L_i

ist nun

x_S\;=\;\frac{1}{2M}\; \sum_{i=1}^N \; \frac{m_in_i}{L_i}\; L_i (x_{i}\;+\;x_{i-1})

 \;=\;\frac{1}{M}\; \sum_{i=1}^N\;  m_in_i\; \frac{x_{i}\;+\;x_{i-1}}{2}

Finale Formel für xS

Also final:

x_S\; \;=\;\frac{1}{M}\; \sum_{i=1}^N\;  m_i\;\cdot\;n_i\; \frac{x_{i}\;+\;x_{i-1}}{2}

Max Hmmm.

Rike Schau mal, diese letzten Summanden

m_i\; \frac{x_{i}+x_{i-1}}{2}

sind gerade die Mittelwerte jeder Box - multipliziert mit ihrer Masse.

Max Ja gut, und in Zahlen, kriegen wir…. Soll ich mal?

 x_S  \;=\;\frac{0,3\; \mathrm{m}\;\cdot\;20\; \mathrm{kg}\;+\;0,765\;\cdot\;20\; \mathrm {kg}\;\cdot\;10\;+\;\dots}{790\; \mathrm{kg}}

\;\dots\;+\;\frac{1,08\; \mathrm{m}\;\cdot\;15\; \mathrm{kg}\;\cdot\;6\;+\;1,38\; \mathrm{m}\;\cdot\;40\; \mathrm{kg}\;\cdot\;12}{790\; \mathrm{kg}}

  \;=\;1,163\; \mathrm{m}

Hey! Die Ladebreite war 1,53 m! Das ist ja weit aus der Mitte! In jeder Linkskurve wird Dein PC nach außen gedrückt. Wir müssen die Ladung umsortieren!

Rike Schade, wenn wir immer nur Rechtskurven nach Bielefeld hätten, hätte ich optimal gepackt, aber ich muss wohl von Links- u n d Rechtskurven ausgehen.

Max Ich helfe Dir.

Rike Danke!

***

Übungsaufgaben

  1. Prüfe, ob das Integral über die Massendichte die Gesamtmasse ergibt.
  2. Gibt es eine optimale Lösung der Ladungsverteilung?
  3. Berechne z_S.

Lösungen

  1. \int_0^{L_x} \varrho(x) dx\;=\;\int_0^{L_x} \sum_{i=1}^N\; \varrho_i(x) dx

    \;=\;\int_0^{L_x}\; \sum_{i=1}^N\; \frac{m_in_i}{L_i} dx

    \;=\;\sum_{i=1}^N \; \frac{m_in_i}{L_i}\; x|_{x_{i-1}}^{x_{i}

    \;=\; \sum_{i=1}^N \; \frac{m_in_i}{L_i}\; (x_{i}\;-\;x_{i-1})

    \;=\; \sum_{i=1}^N\;  \frac{m_in_i}{L_i}\; L_i

    \;=\; \sum_{i=1}^N \; m_in_i

    \;=\;M

  2. Ja
  3. 0,34 m