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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

beitrag_III_02_farn-titel

Wie Natur, Kunst und Mathematik zusammenhängen

Rike hat ihre erste Woche in Bielefeld in ihrem neuen Job überstanden. Mit Max nimmt sie eine kleine Auszeit. Sie gehen hier im schönsten Wald spazieren und entdecken mathematische Formen in der Natur. Im Frühjahr haben Farne auffällige Spiralformen. Doch auch im Sommer wachsen die Farne und bilden Spiralen aus, wenn sie ihre Blätter auffalten. Karl Bloßfeldt hat das genial fotografiert und diese (u.a.) Formen der Natur Urformen der Kunst genannt. Daran erinnert sie sich und diskutiert gleich die Formel für die Farne.

III_02_farn_DSC_7431

Urformen der Kunst

Max Hey, Rike, diese Farne, die haben ja echt tolle Formen, sogar im Sommer!

Rike Ja stimmt, sieht wirklich toll aus. Die Natur ist wirklich unergründlich. Karl Bloßfeldt hat das fotografiert, er nennt solche Formen Urformen der Kunst.

Max Was meint er damit?

Rike Er meint, dass solche geometrischen Formen in der Natur das Original sind - und als Vorbild für die Kunst herhalten können.

Max Hey, dann haben wir heute Natur- und Kunsterlebnisse!

Rike Stimmt.

Max Kann man die denn mit Formeln beschreiben, also um sie zu reproduzieren, wo sie doch so wichtig sind?

Bildungsgesetz der goldenen Spirale

Rike Warte mal, in der Natur kommen meist sogenannte goldene Spiralen vor, das sind solche: Der Radius r verkleinert oder vergrößert sich in Abhängigkeit vom Winkel \theta:

r\;=\;\varphi^{\theta\;\frac{2}{\pi}},

alles in Polarkoordinaten, \theta\;\in\;[0,\;\infty),\;\varphi\;>\;0.

Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten

Max Kann man das auch als Funktion in x-und y-Koordinaten schreiben?

Rike Ja klar, das geht so:

III_02_goldene_spirale_07
Goldene Spirale für \varphi\;=\;0,75,\;\theta\;>\;0.

Wenn Du zu einem Punkt P mit Radius r und Winkel \theta die x- und y-Koordinaten berechnen willst, dann siehst Du in der Zeichnung, dass

x\;=\;r\;\cos \theta

y\;=\;r\;\sin \theta

ist. Und umgekehrt:

r\;=\sqrt{x^2\;+\;y^2}

\theta\;=\;\arctan\;{\frac{y}{x}

... und ein paar Fallunterscheidungen für die einzelnen Quadranten.

Max Klar. Rike, Deine Spirale sieht irgendwie so harmonisch aus!

Rike Richtig, sie hat einige Eigenschaften vom goldenen Schnitt. Sowas lieben Künstler. Und Mathematiker finden, dass der Radius r sehr schnell nach Null geht für \theta nach Unendlich, eben exponentiell.

r\;=\;r(\theta)\;=\;\varphi^{\theta\;\frac{2}{\pi}}\;\longrightarrow\;0 \;\mathrm{ f\ddot ur}\;\theta\; \rightarrow\;+\infty.

und

\0\;<\;\varphi\;<\;1

III_02_goldene_spirale_r-theta_04
Asymptotisches Verhalten für den Radius bei der goldenen Spirale, hier für \varphi = 0,75.

Max Aber sag mal Rike, so ganz trifft die Formel die Form der Farne nicht. Der Radius geht viel zu schnell nach Null. Die Krümmung ist immer gleich, in Deinem Bild hat die Spirale immer eine Linkskrümmung. Wollen wir das nicht mal anders herum probieren, wir nehmen \varphi für den veränderlichen Winkel?

Rike Hey Max!

Max Das mit der Krümmung, das sieht man doch sofort!

Neue goldene Spirale

Rike Okay, lass uns

r\;=\;\varphi^{\theta\;\frac{2}{\pi}},

mit \varphi als Veränderliche \varphi\;\in\;(0,\;\infty) nehmen.  \theta sollte dann negativ sein,

\theta\;<\;0.

Max Okay.

Rike Dann haben wir ein besseres asymptotisches Verhalten:

III_02_new_gold_phi-04
Asymptotisches Verhalten für den Radius bei der neuen goldenen Spirale, hier für \theta\;=\;-0,5.

Max Ja, das gefällt mir. Und wie sieht die Spirale aus?

Rike Hier, schau:

III_02_new-spiral_05
Neue goldene Spirale mit \theta\;=\; -0,5

Max Hey, das gefällt mir. Hier ändert sich sogar die Krümmung, wie bei Farnen! Kannst Du das ausrechnen?

Rike Hahaha!

***

Übungsaufgabe

Überprüfe, ob die Krümmung der neuen goldenen Spirale Null werden kann!

Lösung

Wir betrachten die Spirale als Kurve

(x,\;y)\;=\;(x(\varphi),\;y(\varphi))

Die 2. Ableitung ist gegeben durch

\frac{d^2y}{dx^2}\;=\;\frac{r^2\;+2r'^2\;-\;rr

dabei ist für

r\;=\;\varphi^{\theta\;\frac{2}{\pi}},

r'\;=\;\frac{dr}{d\varphi}\;=\;\theta\;\frac{2}{\pi}\;\varphi^{\theta\;\frac{2}{\pi}\;-\;1},

und entsprechend

r

Die 2. Ableitung wird Null, genau dann, wenn

\frac{d^2y}{dx^2}\;=\;0\;\leftrightarrow\;r^2\;+2r'^2\;-\;rr

Durch Einsetzen der Ableitungen und einfache Umformungen erhält man die Stelle der Krümmungsänderung mit

\varphi\;=\;\;\sqrt{\frac{-2\theta}{\pi}\;-\,\frac{4\theta^2}{\pi^2}}

In unserem Beispiel mit \theta\;=\; -0,5 ändert sich die Krümmung von einer Rechts- in eine Linkskurve bei:

\varphi=0,4648,\;r\;=\;1,2848,\;x\;=\;1,1473,\;y\;=\;0,5684