Rike und Charly haben sich vorgenommen, als Alternative zur Trainingsstrecken-Aufgabe selbst eine übersichtliche und anwendungsnahe Abiaufgabe zu entwerfen. Geht das zum Thema Skilauf? Charly hat die Idee, kleinere Sprungschanzen, die manchmal zu Skiabfahrtpisten dazugehören, zu untersuchen. Vor allem die Landebahnen dazu sollen wie „richtige“ Skischanzen den gängigen Standards genügen. Er schlägt vor, dass die Schüler und Schülerinnen eine parameterabhängige Kurve p3(x) mit den folgenden Eigenschaften bestimmen:
Nachdem Charly von seinem Trainingslager zurückgekehrt ist, wundert er sich über Rikes neue Haarfarbe und Frisur. Rike freut sich und kann es kaum erwarten, dass er ihr die unglaubliche Skipiste vorführt. Sie ist Teil der Abiaufgabe für Berlin und Brandenburg vom letzten Jahr, die die Beiden schon seit einiger Zeit besprechen. Sie geht so:
Die originalen Teilaufgaben zur Skipiste
In einer Trainingshalle für Skiläufer ist eine Skipiste angelegt, auf der kurze Anstiege und Abfahrten trainiert werden können. Das Profil dieser Skipiste wird im Intervall [−7; 0] durch den Graphen der Funktion f0,5 modelliert. In den Intervallen [0; 4] und [4; 5] erfolgt die Modellierung der Profilkurve durch zwei quadratische Parabeln. Dabei werden die Parabeln so gewählt, dass die Profilkurve keinen Knick hat. Der Boden der Trainingshalle wird in der gleichen Profilansicht durch die x-Achse beschrieben. In der Abbildung 3 ist die Profilkurve der Skipiste skizziert. Es gilt: 1LE = 5m.
Abb. 3 nach: Mathematik Abitur 2024. Leistungskurs. Berlin und Brandenburg. Prüfungen und Lösungen, L&K development GmbH, Berlin, 2023, S. 45
Rike hat lange über Newtons Vorwürfe nachgedacht: Sie spinnt jawohl mit ihrer Forderung, die 1. Ableitung der Funktion f(y) an der ersten Näherung y0 soll ungleich Null sein:
f(y0) ≠ 0,
hat Newton gerufen. Das ist doch Standard bei diesem Verfahren und geometrisch offensichtlich. Eine waagerechte Tangente kann keinen Schnittpunkt mit der y-Achse haben.
Als Charly mit seiner Klasse in ein Volleyball-Trainingslager fährt, färbt sie sich die Haare silbergrau, deckt sich mit Chips und Cola ein und sucht Newtons Original. Bloß gut, dass die University of Cambridge Newtons Arbeiten digitalisiert und online gestellt hat! Sie sieht fast die gesamte Abhandlung Fluxes durch, das ist Newtons Darstellung der Differential- und Integralrechnung, und findet schließlich nach einem Hinweis von Wiki das Papier: Weiterlesen
Rike hat sich nach dem Abendessen mit dem Newton-Verfahren und seiner Implementierung auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner beschäftigt. Sie hat das allerbeste Skipisten-Beispiel überprüft und andere Beispiele untersucht. Schließlich ist sie dann sehr spät nachts zu Charly ins Bett gekrochen. Dann hat sie (wieder einmal) schlecht geträumt. Beim Frühstück erzählt sie Charly ihren Traum. Weiterlesen
Rike hat in Erwartung der Berechnung einer Skipiste in einer abwechslungsreichen Landschaft mit starken Abfahrten ins Ungewisse die ganze Nacht vom Skifahren geträumt. Sie ist immer wieder ins "schwarze Loch" gefahren und mehrfach hochgeschreckt. (Charly hatte ihr zwar das File mit der Aufgabe nicht gegeben, aber sie dann doch irgendwie beruhigt.) Ob sie wohl die Länge der Strecke ins "schwarze Loch" ausrechnen soll? Oder die Geschwindigkeit eines Skifahrers oder den Abstand von zweien?
Charly Nein, Rike, diese Abfahrt für große x und negative a brauchst du nicht zu fahren! Die Strecke auf dem Höhenzug fmax, den du ausgerechnet hast, ist doch viel schöner: freier Blick nach vorn, rechts und nach links, das ist die allerbeste Piste!
Rike Okay, fmax ist die allerbeste Piste! Charly, nun sag schon, was ist die nächste Teilaufgabe? Ich hätte tausend verrückte Vorschläge!
Charly sitzt an diesem verregneten und windigen Osterferientag an einer „sportlichen“ Abiaufgabe. Es ist eine typische Analysis-Aufgabe über eine Funktionenschar mit einem Parameter. In dieser Aufgabe werden Nullstellenberechnung, Flächenberechnung, Kurvendiskussion, topologische Eigenschaften, numerische Näherungsverfahren, Zahlentheorie und nicht zuletzt eine Anwendung kombiniert. Die Aufgabe, die einen wissenschaftlichen Taschenrechner als Hilfsmittel zulässt, hat 13 Teilaufgaben. Man kann insgesamt für die Aufgabe 50 Punkte erhalten. Da kommt Rike dazu.
Rike Schade, dass der Ansatz für größere nicht aufgeht. Doch wenn dir die Nullstelle bei so wichtig ist, dann machen wir eben einen neuen Ansatz und fordern, dass das Spline genau diese Nullstelle oder besser ausgedrückt: genau diese Stützstelle hat.
Spline-Ansatz mit 4 Stücken
Charly Ja, das ist mir wichtig. Sehe ich das richtig, dass wir bei noch einmal stückeln?
Als Charly vom Joggen wiederkommt, findet er Rike ganz verzweifelt. Sie hat sich die schräge Ellipsenaufgabe noch einmal vorgenommen und Charlys Funktion
genauer angeschaut. Sie bemerkt, dass diese Funktion nur für einige sehr gut mit der Vorlage übereinstimmt, aber leider nicht an anderen wichtigen Punkten.
Als Rike vom Joggen wiederkommt, findet sie Charly ganz verzweifelt. Der Stundenplan fürs neue Schuljahr steht so gut wie fest und wie es aussieht, soll Charly neben Sport wieder einen Abikurs in Mathe übernehmen. So hat er sich weitere Abiaufgaben von Berlin-Brandenburg angeschaut, so auch die (hilfsmittelfreie) Analysis-Aufgabe für den Leistungskurs von 2021. In dieser Aufgabe geht es darum, aus einer Grafik für eine Stammfunktion die zugehörige Funktion
zu finden und deren Eigenschaften zu diskutieren.
Die grafische Darstellung der Funktion F
Grafisch gegebene Stammfunktion . Abbildung nach [Ott, Schomburg, 2021]So soll der Funktionswert von an der Stelle „näherungsweise“ bestimmt werden. Er zeigt Rike die Aufgabe.
Rike kommt für einen kurzen Besuch an ihre ehemalige Uni, wo sie früher Mathetutorien gegeben hat. Sie lässt sich die neusten Matheklausuren zeigen. Die von der 3D-Darstellung von Funktionen zweier Veränderlicher hat es ihr besonders angetan. Wie schön die ist, seufzt sie.
