Die rot-grüne Würfelaufgabe

Rike schaut dem Volleyballtraining in Potsdam zu. Hinterher fragt sie Charly, ob er die Gewinnchancen seiner Mädels voraussagen kann.

Charly Weißt du, so ein Volleyballspiel ist sehr dynamisch. Manchmal läuft es wirklich gut für die eine Seite, die Mädels spielen immer besser zusammen und werden euphorischer mit jedem Punkt; und manchmal läuft es nicht so gut, es gibt richtige Pechsträhnen.

Rike So ist jedes Spiel offen und unvorhersagbar?

Charly Ein bisschen kennen wir die Gegner und können unsere Chance einschätzen, aber ob wir wirklich gewinnen, hängt auch vom Trainer ab – nämlich wie er die Mannschaft trainiert und motiviert.

Rike Klar, verstehe. Dann trainiere sie doch so, dass ihr immer gewinnt.

Charly Haha! Aber weißt du, vielleicht kannst du mir so eine Stochastikaufgabe erklären, wo es auch ums Gewinnen geht.

Rike Na gut, ich versuch’s. Wie geht denn die Aufgabe?

Charly Es ist eine ehemalige Abiaufgabe, hier

Stochastik-Abiaufgabe Farbige Würfel 2020

Stochastik: Farbige Würfel
Rebecca und Georg haben sich dazu entschieden ihre bisherigen sechsseitigen Würfel anzumalen und neu zu beschriften. Rebecca malt ihren Würfel rot und Georg seinen grün an. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Seite oben liegt, ist für alle Seiten gleich groß. Die Zahlen auf den beiden Würfeln sind aber unterschiedlich:
Abb. nach dem Original in der Aufgabe, siehe [Mathematik Abitur 2022]

[...]

b) Rebecca will mit ihrem (roten) Würfel innerhalb von höchstens drei Versuchen eine 1 würfeln. Wenn sie das nicht schafft, darf Georg das letzte Kuchenstück alleine essen. Erstellen Sie ein Baumdiagramm für den Sachzusammenhang und ermitteln sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Rebecca das Kuchenstück nicht abgeben muss.

[…]
Rebecca und Georg haben sich eine neue Wette für das letzte Kuchenstück ausgedacht. Nun soll jeder mit dem eigenen Würfel innerhalb von genau 3 Würfeln exakt die Augensumme 6 erhalten.
e) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit von Georg die Augensumme 6 zu werfen 5/54 beträgt.
f) Rebecca behauptet, dass Georg nun eine höhere Wahrscheinlichkeit auf das letzte Kuchenstück hat. Entscheiden Sie begründend, ob Rebecca recht hat.

Rike Hast du schon ‘mal jemanden bei euch gesehen, der Würfel anmalt, Zahlen auf Würfeln ändert und um das letzte Stück Kuchen würfelt?

Charly Haha, sehr witzig.

Rike Na gut, sieht ja wieder wie eine Binomialaufgabe aus.

Aufgabe b)

Wenn Rebecca 3-mal würfelt, haben wir 3 Versuche,

Die Wahrscheinlichkeit , bei jedem der Würfe eine 1 zu würfeln, ist beim roten Würfel

Jetzt kann ich die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis , bei 3 Würfen Einsen zu würfeln mit der üblichen Formel für die Binomialverteilung berechnen:

Charly Klar.

Rike Und hier soll die Wahrscheinlichkeit für

berechnet werden. Das ist dieselbe Wahrscheinlichkeit wie:

Dann können wir das direkt ausrechnen:

Intention der Aufgabe b) und Wahrscheinlichkeitsauffassungen

Charly Okay. Stimmt. Ich weiß nur nicht, warum unbedingt ein Baumdiagramm dazu gezeichnet werden soll.

Rike Das wäre ein anderer Zugang: die bedingte Wahrscheinlichkeit. Irgendwie scheint mir, dass bestimmte Rechenschema und Methoden abgefragt werden und eigene Ansätze dagegen unerwünscht sind.

Charly Yes, gerade das stört mich auch. Ich freue mich, wenn meine Schülerinnen und Schüler Wege suchen und ausprobieren.

Rike Wenn jetzt bei verschiedenen Wegen verschiedene Ergebnisse rauskommen, wie überprüft ihr das dann?

Charly Weißt du, dann geben wir jetzt einer „Rebecca“ diesen roten Würfel und lassen sie würfeln. Ich schätze, dass sie bei ‒ sagen wir ‘mal ‒ 10 Versuchen zu je 3 Würfen 9-mal mindestens eine 1 erwischt.

Rike Haha!

Charly Ja, ich glaube, dass das passieren kann! Schließlich ist das ganze Würfeln nicht genau vorhersagbar, die Ergebnisse sind nicht sicher.

Rike Richtig, das Würfeln ist nicht deterministisch. Und wenn deine Rebecca nun 100-mal je 3-mal würfelt oder gar 1000-mal?

Charly Bist du verrückt? Das ist Quälerei! Wenn sie 20-mal würfelt, jeweils 3-mal, dann ist jedes Mal alles offen. Du glaubst, dass sie, je öfter sie würfelt, umso näher an die 70 % herankommt?

Rike Nein, ich glaube das nicht, ich kenne die Auffassung, das ist die der Frequentisten. Ich glaube nicht, dass deine Rebecca so oft würfelt, dass wir als Grenzwert die 70 % erhalten.

Charly Gut, da sind wir uns einig, Rebecca würfelt nur 20-mal und ich bin kein Frequentist. Wenn Rebecca eine unserer Volleyballspielerinnen wäre, würde ich an sie glauben, und sie würde bestimmt bei 20 Versuchen 18-mal Erfolg haben.

Rike Aha, dann bist du ein Subjektivist, du siehst in Rebecca die Fähigkeit, mit 90 % zu gewinnen (statt der soeben berechneten 70 %).

Charly Jaja, so sehe ich das. Außerdem ist die Intention der Aufgabe so: „Wenn sie das nicht schafft…“

Rike Haha, dann wird sie bestraft, der böse Wolf frisst sie auf ‒ nein, Georg nimmt das letzte Stück Kuchen. Ist das Brandenburger Matheabi ein modernes Märchen?

Teilaufgaben e) und f)

Charly Haha! Aber schau mal, beim Teil e) und f) wird es noch schwieriger: Mir ist nicht klar, wer die Wette gewinnt. Also Rebecca und Georg würfeln gleichzeitig jeweils 3-mal. „Jeder soll die Augenzahl 6 erhalten“. Die Wahrscheinlichkeit, dass Georg die Augenzahl 6 erhält, ist ziemlich klein, 9.26 %, die von Rebecca ist noch kleiner, weil sie diesen anderen Würfel hat. Vermutlich wird keiner der Beiden die Augenzahl 6 würfeln. Wer gewinnt dann?

Rike Das ist tatsächlich nicht festgelegt. Sie haben eine Prämie – das letzte Kuchenstück – ausgelobt, aber nicht die Regeln. Sag mal, war das letzte Kuchenstück nicht schon in der Aufgabe b) vergeben?

Charly Hmm, ja, das hat Rebecca hoffentlich schon erwürfelt und gegessen. Doch weil das alles so ein unlogisches Durcheinander ist, spielen wir hier lieber Volleyball als Mathe zu machen.

Rike Das ist keine Lösung, Charly.

Charly Also gut, ich wenn ich die Aufgabe retten soll, würde ich vorschlagen, wir sagen, Beide würfeln gleichzeitig je 3-mal immer wieder. Wer zuerst die Augenzahl 6 hat, gewinnt. Wenn Beide gleichzeitig die 6 erwürfeln, gewinnen beide. Wer gewinnt, darf eine Bootstour machen.

Rike Gut, Charly, das gefällt mir. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass Georg, Rebecca oder beide gewinnen?

Charly Warte, ich sage dir das gleich, lass uns erst nach Hause gehen.

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