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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

IV_04_titel_komplexe-fruechte

Komplexe Früchte

Rike und Ben sind im Supermarkt und wollen Obst kaufen. Sie überlegen, ob die Früchte auch so gut schmecken, wie sie aussehen.

Rike Da fällt mir die Cauchy-Integralformel ein. Damit kann man mit dem Integral über die Oberfläche die Funktionswerte mittendrin ausrechnen.

Ben Das kommt mir komisch vor. Hatten wir nicht vor kurzem noch das Residuum für Funktionen mit Singularitäten?

Rike Richtig. Die Voraussetzung für diese Integralformel ist, dass die Funktion f in einem beschränkten, einfach zusammenhängenden Gebiet G, G \subset \mathbf C differenzierbar ist.

Residuensatz

Ben Na gut, die Funktionen mit Singularitäten sind nicht differenzierbar, Du hattest

\oint_{\mathcal C} \frac{1}{z}\; dz\;=\;2 \pi i,

stimmts?
Rike Richtig. Aus dieser Tatsache kannst Du die Integralformel herleiten.

Herleitung der Integralformel

Du nimmst einen Punkt z0 aus G. Dann ist die Funktion

\frac{f(z)}{z\;-\;z_0}

in G\;-\;\{z_0\} stetig differenzierbar, Du legst eine glatte Kurve {\mathcal C} um z0

IV_04_integralformel_01-02

und berechnest das Integral

 I\;:=\; \oint_{\mathcal C} \;    \frac{f(z)}{z\;-\;z_0}\; dz

Das Integral ist nicht von der Kurve selbst abhängig, genauso könntest Du einen Kreis {\mathcal K}_r mit einem festen Radius r wählen, sodass {\mathcal K}_r vollständig in G liegt.

IV_04_integralformel_02-02

 I\;=\; \oint_{{\mathcal K}_r}  \;   \frac{f(z)}{z\;-\;z_0}\; dz

Wenn Du nun den Kreis immer kleiner werden lässt, dann geht f(z) nach f(z0):

f(z)\; \longrightarrow\; f(z_0) \;{\mathrm mit}\; r \; \rightarrow \; 0.

Das Restintegral lautet dann

 I_r\;:=\; \oint_{{\mathcal K}_r}    \; \frac{1}{z\;-\;z_0}\;\; dz

Jetzt nehmen wir eine ähnliche Substitution wie im Urlaub für z:

z\;=\;z_0\;+\;r e^{i\varphi}

Dann wird

dz\;=\;r i e^{i\varphi}\; d\varphi

Aus dem Integral Ir wird damit:

I_r\;=\;\int_0^{2\pi} \;\frac{1}{z_0\;+\;r e^{i\varphi}\;-\;z_0}\; r i e^{i\varphi}\; d\varphi

\;=\; \int_0^{2\pi} \;\frac{1}{ r e^{i\varphi} }\; r i e^{i\varphi}\; d\varphi

\;=\;i \int_0^{2\pi}\; d\varphi

\;=\;i \varphi \; |_0^{2\pi}

\;=\;i (2\pi\;-\;0)

\;=\;2\pi i

Cauchy-Integralformel

Und weil das Integral unabhängig von der Kurve {\mathcal C} ist, kriegen wir

  \oint_{\mathcal C}  \;   \frac{f(z)}{z\;-\;z_0}\;\; dz \;=\; f(z_0)\; \cdot\; 2\pi i,

das kannst Du prima umstellen und kriegst die Cauchy-Integralformel:

 f(z_0)\;=\; \frac{1}{2\pi i}\; \oint_{\mathcal C}  \;   \frac{f(z)}{z\;-\;z_0}\;\; dz

Ben Gut, verstehe. Das ist echt ‘ne tolle Sache, ich integriere über den Rand und kriege die Information im Innern. Gefällt mir! Klappt das auch im R3?

Rike Nö!

Ben Dann lass uns doch mal in den Supermarkt für komplexe Früchte gehen!

Rike Hahaha!

Übungsaufgaben

Überprüfe

  1. f(z)\; = \;z in z_0\; = \;0
  2. f(z)\; \equiv\; 1 in z_0\; = \;1

Lösung

  1. f(0) = 0
  2. f(0) = 1