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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

33_Nord-Ostsee-kanal-turbulenz-titel

Turbulenz im Nord-Ostsee-Kanal

Ben und Rike bleiben am Nord-Ostsee-Kanal. Jetzt wollen sie sowieso nicht nach Berlin zurück. Sie bewundern die turbulente Strömung im Nord-Ostsee-Kanal hinter einem Schiff.

Ben Sag mal Rike, ergeben deine Navier-Stokes-Gleichungen auch Turbulenzen?

Rike Na klar, sie beschreiben das Verhalten von Flüssigkeiten, viskos oder nicht viskos, 2- oder 3-dimensional, mit und ohne äußere Anregungen. Turbulenzen sind experimentell gut untersucht, aber mathematisch ist das wirklich ein harter Brocken! Schon allein eine Formel für solche „turbulenten“ Funktionen zu finden, ist nicht so einfach.

Der Fourierreihenansatz

Ben Das Wasser scheint ja ziemlich herumzuwirbeln. Könnte man nicht einfach eine Fourierreihe als Lösung ansetzen:

sind die Vektoren der Wellenzahlen. Dann könnte man über den Nord-Ostsee-Kanal integrieren, das wäre die Fouriertransformation der ’s, und dann könnte man die resultierenden Gleichungen für die Koeffizienten lösen.

Rike ??? Sag mal, bist du ein Genie oder hast du die Arbeiten von Onsager und Isett gelesen?

Ben grinst.

Rike Na gut, dann weißt du ja auch, dass die Energie einer Lösung durch

berechnet wird. Falls der Energieerhaltungssatz gilt, ist

sonst wächst die Energie und die Entropie – und wir haben ein turbulentes Verhalten.

Ben Na klar.

Regularitätsverhalten schwacher Lösungen

Rike Dann weißt du wohl auch, dass man einer schwachen Lösung der Navier-Stokes-Gleichung an ihrem Regularitätsverhalten ansehen kann, ob sie dem Energieerhaltungssatz genügt oder nicht?

Ben Na ja, wie war das gleich: Wenn eine schwache Lösung die Ungleichungen

erfüllt, dann haben wir für die Energieerhaltung – und für eben nicht.

Rike Stimmt!

Ben Nur sind mir solche Funktionen bisher noch nicht begegnet.

Hölderstetigkeit – Beispiel

Rike Diese Eigenschaft aus der Ungleichung heißt Hölderstetigkeit, ist der Exponent dazu, die Hölderkonstante. Nehmen wir mal die Funktion

33_hoelderstetigkeit_funktion_x1_3_7_03

Dann kann ich gut diese Differenzen ausrechnen:

Ist

so ist die Funktion hölderstetig. Wegen

für und  ist

Wegen der Eigenschaften des Betrages kriegen wir daraus

und folglich

Die Hölderkonstante ist also 1:

.

Folglich ist

hölderstetig mit . Außerdem kann man beweisen, dass auch hölderstetig mit einem Exponenten ist, aber nicht mit Exponenten . Ich kann versuchen, diese Differenz zu berechnen, hier!

33_hoelderstetigkeit_differenz_x1_3_7_03
Die Differenz für mit verschiedenen . Für ist die Differenz beschränkt.

 

Wenn ich mal nahe 0 festhalte, kriege ich für die Differenz für alle , die ich berechne. Bei bleibt die Differenz ebenfalls beschränkt, bei ist sie bei unbeschränkt.

Ben Okay, verstehe… Das heißt, dass Funktionen der Art

mit zu Turbulenzen führen können und mit eben nicht.

Rike Stimmt.

Ben Rike, hast du auch andere Beispiele?

Hölderstetigkeit – Gegenbeispiel

Rike Ja, nimm mal die Funktion :
formel_1_latex_beitrag_33_2020
33_hoelderstetigkeit-gegenbeispiel_f_1_sin_7_03

Die Funktion ist weder für noch für hölderstetig.

33_hoelderstetigkeit-gegenbeispiel-_differenz_1_sin_7_05
Die Funktion für und verschiedene .

 

Ben Ach, das sind echt unbequeme Funktionen, die können sich nur Mathematikerinnen ausdenken!

Rike Meinst du, Turbulenz ist fürn Apple und ‘nen Huawei zu haben?

Ben Nee, war nur ‘n Scherz.

Rike lacht.

***

Übungsaufgaben

  1. Wie könnte man die Differenzfunktion für alle und berechnen und darstellen?
  2. Ist die Funktion des Gegenbeispiels für andere hölderstetig?

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