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Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

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Neue Tensoren für die Welt

Max, Rike und Matthew treffen sich im Schnee. Rike fragt ihn, was ihn am meisten in der Mathematik fasziniert. Matthew erzählt von seinem Traumarbeitsgebiet.

Matthew You know, ich liebe mathematische Physik, wie auch Quantenmechanik und allgemeine Relativitätstheorie. Beide Theorien sind etabliert, gelten aber für verschiedene Zweige der Physik. Das Zusammenwirken steht noch aus – sowohl physikalisch als auch mathematisch. Alle Experimente, die den Einfluss der Gravitation auf Quantensysteme messen, werden physikalisch mit der nichtrelativistischen newtonschen Gravitation beschrieben. Und auf der anderen Seite nimmt man für die Relativitätstheorie die klassischen physikalischen Methoden. Jetzt gibt es ein Experiment, wo einzelne Photononen der Gravitation unterworfen werden. Man hat einzelne Photonen mit verschiedenen Phasen erzeugt und sie an einer schweren Masse vorbeigeführt. Danach hat man die einzelnen Photonen nicht unterscheiden können und nur eine Überlagerung festgestellt. Sowohl ihre Position als auch ihre Ausgangszustände waren nicht feststellbar.

Max Ja, so fühle ich mich auch manchmal, ich weiß nicht, wer ich bin, wo ich bin, und wie ich hierhergekommen bin.

Rike Hahaha. Es ist aber noch viel weitreichender. Wenn die Teilchen keine Geschichte haben, so auch die Elektronen und Moleküle, aus denen wir aufgebaut sind, wie können wir dann eine Geschichte haben? An so etwas Schwieriges wagst Du Dich heran, Matthew?

Matthew In Cambridge habe ich ein paar Vorträge von ein paar Physikern dazu gehört. Sie waren so jung und so erfrischend, you know. Ich hätte Lust, da als Mathematiker mitzumachen. Sie versuchen, die Wechselwirkungen von Teilchen mit neuen Modellen für Tensoren zu beschreiben, und das gefällt mir.

Tensoren

Max Tensoren?

Matthew Yes, Tensoren. You know, Du nimmst für jedes Teilchen einen Hilbertraum – so eine Art Vektorraum mit einem Skalarprodukt, mit dem man dann auch Abstände definieren kann, also H_1 bzw. H_2. You know, H_1 oder H_2 könnte jedesmal der Raum quadratisch intergrierbarer Funktionen über {\mathbf R} sein, in jedem Hilbertraum haben wir das Skalarprodukt

\langle \psi_1,\;\psi_2\rangle \;=\;\int_{\mathbf R} \; \bar{ \psi_1(x)} \psi_2(x)\; dx

Dann kannst Du leicht das Tensorprodukt von 2 Funktionen definieren:

(\varphi_1 \otimes \varphi_2 ) (\psi_1,\; \psi_2 )\;=\;\langle \varphi_1 ,\; \psi_1\rangle \cdot \langle \varphi_2, \psi_2\rangle

Max Hmmm.

Matthew Du kannst sogar ein Skalarprodukt in diesem Tensorraum definieren und diese Tensoren wieder zu einem Hilbertraum machen, dem Tensorprodukt H_1\;\otimes\;H_2 von Hilberträumen:

\langle \varphi \;\otimes\;\psi,\; \eta\;\otimes\;\rho \rangle \;=\;\langle \varphi,\;\eta\rangle \cdot \langle \psi ,\;\rho\rangle

usw. So kannst Du mit

\varphi_1\;\otimes\;\varphi_2

sehr gut innerhalb der Quantenmechanik zwei Zustände eines Teilchens beschreiben, \varphi_1 für den ersten und \varphi_2 für den zweiten.

Max Okay

Matthew Schwieriger wird es, wenn es um “dieselben” Teilchen geht, die verschiedene Zustände annehmen. Wenn

H_1\;=\;H_2,

dann ist

H_1\;\otimes\;H_2\;=\;H_2\;\otimes\;H_1.

Dieser Tensorraum H_1\;\otimes\;H_2 könnte man mal für ein Elektron mit den beiden Spins "+" und "-" betrachten.

\varphi_1\;\otimes\;\varphi_2\;

steht für das Elektron mit dem "+"-Spin. Jetzt lass uns alles tauschen in diesem Tensor:

1 \longleftrightarrow 2

+ \longleftrightarrow -

Dann wird aus dem einen Zustand – mit dem positiven Spin – sein Gegenteil, der Zustand mit "-"-Spin, then we get:

-\varphi_2\;\otimes\;\varphi_1.

Jedes Elektron kann natürlich nur einen Zustand annehmen. Aber im mathematischen Modell, im Tensorraum zweier Hilberträumen benutzen wir die Überlagerung der beiden, das gibt:

\varphi_1\;\otimes\;\varphi_2\;-\;\varphi_2\;\otimes\;\varphi_1

Das sind sozusagen die elementaren Elemente in H_1\;\otimes\;H_2.

Max Kann man nicht einfach die beiden

gleich setzen:

\varphi_1\;=\;\varphi_2\;=\; \varphi,

dann ist

\varphi\;\otimes\;\varphi\;-\;\varphi\;\otimes\;\varphi\;=\;0

Matthew Nein, das ist nicht sinnvoll, diese \varphi_1 und \varphi_2 beschreiben 2 verschiedene Zustände eines Teilchens, eines Elektrons, Photons oder was auch immer. Sie beschreiben nicht vereinbare physikalische Eigenschaften. Beide Teilchen können nebeneinander existieren, sie löschen sich nicht einfach aus. Dafür ist doch dieser Tensorformalismus ganz gut, stimmts?

Max Hmmm.

Matthew Mit diesem Zustand

\varphi_1\;\otimes\;\varphi_2\;-\;\varphi_2\;\otimes\;\varphi_1

haben wir praktisch die Koexistenz der beiden Zustände formuliert, und so etwas wurde ja jetzt für Photonen untersucht. Aber diese Notation beschreibt nicht,   w i e   die beiden Zustände ineinander übergehen. Jetzt habe ich bei Lucien Hardy eine neue Schreibweise für Tensoren gefunden, die bipartite notation:

Neue Tensoren

 (A,\;B)_\alpha

steht dann für die Vereinigung oder Wechselwirkung von A nach B. Die Art und Weise, wie das

II_13_formel_02_ab

geschieht, ist \alpha. Jetzt fordert Hardy, dass in solchen Systemen die Reihenfolge der Interaktion keine Rolle spielt:

Das Ordnungsunabhängigkeitsaxiom

Für ein System aus mehreren Teilen

D\;=\;(A,\;(B,\;C)_\beta)_\alpha

II_13_formel_02_abc_1

lassen sich \gamma,\;\delta,\;\mu,\;\nu finden, sodass

D\;=\;((A,\;B)_\gamma ,\;C)_\delta

II_13_formel_02_abc_2

und

D\;=\;((A,\;C)_\mu,\;B)_\nu

II_13_formel_02_abc_3

Und, noch besser, you know, \alpha hat auch mehrere Komponenten für die zu übermittelnde Information und die Positionen:

a\;=\;(a,\;x,\;y)

a\;\dots\; Information
x\;\dots\; Position für A
y\;\dots\; Position für B

Das können wir mit in die Bezeichnung hineinnehmen:
II_13_formel_02_ax

Max Okay

Matthew Und so kannst Du schreiben

(A,\;B)_\alpha\;=\;A^{a_1}\;[x]\;B_{a_1}\;[y].

Max Okay

Matthew Die Ortsinformation stecken wir mal in die Systeme A\;=\;A[x].

Max Okay

Matthew Damit kannst Du jetzt schon Systeme mit 3 Komponenten und nicht trivialer Wechselwirkung notieren, zum Beispiel:

II_13_dreieck_01

Das ergibt

A^{a_1\;b_2}\;B^{c_3}_{a_1}\;C_{b_2\;c_3}

Max Klar!

Matthew Oder solche:

II_13_viereck_01

Ich finds cool.

Max Ich auch.

Rike Ich auch.

***

Übungsaufgabe

Schreibe das Tensorschema für das System aus 4 Komponenten.

Lösung

A^{a_1\;b_2\;c_3}\;B_{a_1}^{d_4\;e_5}\;C^{f_6}_{b_2\;d_4}D_{c_3\;e_5\;f_6}