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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

beitrag_II_12_matthew-titel_01

Wundersame deutsche Prozentrechnung

Max, Rike und Matthew treffen sich beim schönsten Aussichtspunkt. Matthew (20) kommt aus England, studiert Mathe in Cambridge. Gestern Abend hatten sich die Drei bei einer Party kennengelernt. Rike hatte schon von dem Mathebuch Mathematik heute und dem grandiosen Einstieg in die Prozentrechnung erzählt. Aber nun holt sie endlich das Buch aus ihrem Rucksack.

Rike Hi, Max, hi, Matthew, schön, dass wir uns treffen.

Max Hi Rike!

Matthew Hi, Rike!

Rike Hier schau mal, wie die deutsche Prozentrechnung in der 7. Klasse vermittelt wird. Hier sind die Begriffe:

Definition p %

Prozentsatz p %: Bruch mit dem Nenner 100 und dem Zähler p:

p\%\;=\;\frac{p}{100}

Man verwendet den Prozentsatz als 'Operator'.

Grundwert G: Größe, auf die der Prozentsatz angewendet wird.

Prozentwert P: Die Größe, die man nach Anwendung des Prozentsatzes erhält.

Matthew Wow, cool. You know, das mit dem Operator gefällt mir, ist doch klar:

p\%:\;G\;\longrightarrow\;P

G und P sind nicht näher angegeben? Dann nehmen wir mal G,\;P\;\in\;\mathbf R, die reellen Zahlen, \mathbf C wäre auch nicht schlecht, aber lass uns mal einfach starten.

Max Okay, ich würde auch die reellen Zahlen nehmen.

Matthew Gibts denn keine Vorschriften, was der Operator macht?

Beispiel aus Mathematik heute

Rike Es gibt ein Beispiel:

Mit dem Grundwert G = 500 und dem Prozentsatz 3 % erhält man den Prozentwert von P = 15:

II_12_formel_arrow

Matthew Ja schön, dann haben wir so eine Art Fixpunkt für die Abbildung. Ich schlage vor, wir machen den einfachsten Ansatz für den Operator:

p\% (G)\;=\;a \cdot G\;+\;b, \;a,\;b\;\in\;R.

Und für das Beispiel haben wir

(1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;3\% (G)\;=\;a \cdot G\;+\;b

II_12_geraden_vr_20_04

3\% (500)\;=\;a \cdot 500\;+\;b\;=\;15

Naja, das ist eine einfache Gleichung, da haben wir eine Relation zwischen a und b.

Max Stimmt.

Matthew Die würde ich mal nach a umstellen:

a\;=\;\frac{15\;-\;b}{500}\;=\;-\;\frac {1}{500}\;b\;+\;\frac{3}{100}

Max Richtig

Matthew Und wenn wir das in die Gleichung (1) einsetzen, kriegen wir

3\% (G)\;=\;3\% (G,\;b)\;=\;a \cdot G\;+\;b\;=\;(- \frac {1}{500}\;b\;+\;\frac{3}{100})\;G\;+\;b

Formel (2)

(2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;3\% (G,\;b)\;=\;-\;\frac {1}{500}\;G \cdot b\;+\;\frac{3}{100}\;G\;+\;b

Für G, b nahe Null ergibt das

3\% (G,\;b) \;\approx\;\frac{3}{100}\;G\;+\;b

Das ist eine Ebene, die durch Null geht und in G-Richtung sehr gering ansteigt, mit einem Anstieg von 3/100, das sind ca. 0,0005°.

II_12_flaeche_nah_vr_14_04

Und für G, b sehr groß, |G|,\;|b|\;\gg\;1 haben wir

3\% (G,\;b)\;\approx\;-\;\frac {1}{500}\; G\;\cdot\; b

Riemannsche Mannigfaltigkeit

Insgesamt haben wir eine richtig nice diffentiable manifold, shall we say \mathcal{M}, yes, Ihr kommt ja aus Deutschland, a Riemannian manifold, wenn wir da aus der Ferne dran vorbeifliegen, sieht das Ergebnis von 3% (G, b) so aus:

II_12_flaeche_vr_07_04

Max Cool!

Matthew Unsere super Formel (2) hat eine Besonderheit, nämlich bei G = 500 ist

3\%(500,\;b)\;=\;\big(-\;\frac{1}{500}\;\cdot\;b\;+\;\frac{3}{100}\big)\;\cdot\;500\;+\;b

= -b\;+\;15\;+\;b

\equiv\;15

II_12_linie_vr_18_03

Also

3\%(500,\;b)\;\neq\; 0\; \forall b\; \in\; \mathbf R.

Nullstellen

You know, jetzt lasst uns mal die Nullstellen von

3\%(G,\;b)\;=\;-\frac{1}{500}\;G\;\cdot b\;+\;\frac{3}{100}\;G\;+\;b

ausrechnen:

 3\%(G,\;b)\;=\;-\frac{1}{500}\;G\;\cdot\;b\;+\;\frac{3}{100}\;G\;+\;b\;=\;0

\big(-\frac{1}{500}\;G\;+\;1\big)\;\cdot\;b\;=\;-\;\frac{3}{100}\;G

b\;=\;-\;\frac{3}{100}\;G\;\frac{500}{-G\;+\;500}

You know, die Nullstellen liegen bei

(3)\;\;\;\;\;\;\;\;\;b\;=\;b(G)\;=\;-15\;\frac{G}{500\;-\;G},\;G\;\neq\;500.

Max Okay, bei G = 500 wird das Ergebnis sowieso nicht Null, 3 % von 500 sind 15.

Matthew Right, diese Formel gibt ein schönes Bild. I love it.

II_12_nullstellen_vr_18_02

Das sind die Kurven, in denen sich the Riemannian mit der Nullebene schneidet. Das sind die Punke (G, b) mit

3\%(G,\;b)\;=\;0

Die Kurven haben sehr schöne Eigenschaften, you know, die sind immer fallend, da können ja die Kids mal die Ableitung ausrechen, okay? Und was habe ich nun hergeleitet:

Paradoxa

Very, very nice geometry, very nice curves für die Nullstellen (3)! Mit unserem Ansatz (1) kriegen wir die Formel (2) für den 3 %-Operator, und daraus ein paar paradoxe Ergebnisse, you know:

3\%(0,\;-1)\;=\;-\;0\;+\;0 -1\;=\;-1

oder

3\% (-1,\;-1)\;=\;-\frac{1}{500}(-1)\cdot(-1)\;+\;\frac{3}{100}\;(-1)\;+\;(-1)

=\;-0,002\;-\;0,03\;-\;1

=\; -1,032

oder

3\%(1000,\;1000)\;=\;(-2\;+\;\frac{3}{100})\;1000\;+\;1000

= -1,97\;\cdot\;1000\;+\;1000

=\;(-1,97\;+\;1)\;\cdot\;1000

=\;-0,97\;\cdot\;1000

=\;-970

Max Was, Du berechnest 3 % von 1000 mit -970? Und 3 % von -1 ist -1?

Matthew Yes – mit Eurem deutschen Operatorzugang!

Rike Hahahahahaha!

***

Übungsaufgaben

  1. Berechne für die Gleichung der Nullstellen (3) die Ableitung

    \frac{db}{dG}

  2. Was kannst Du über das Vorzeichen herausfinden?
  3. Finde weitere paradoxe Werte für 3\%(G,\;b)

Lösungen

  1. \frac{db}{dG}\;=\;-\;\frac{500\;\cdot\;15}{(500\;-\;G)^2}
  2. \frac{db}{dG}\;\lt\;0
  3. 3\% (250,\;-15)\;=\;0
    3\% (750,\;45)\;=\;0