Max und Rike sind beim Frühstück in ihrer Ski-Hütte. Rike hat im Regal ein liegengelassenes Matheschulbuch gefunden und darin gestöbert. Sie ist wütend, wie schlecht das Mathebuch ist, immer sollen immer dieselben Aufgaben gerechnet werden, ohne die nötigen Begriffe korrekt einzuführen, sie findet es unmöglich.
Max Hi Rike, guten Morgen, was ist los?
Rike Hi Max, ich habe hier ein Mathebuch „Mathe heute“ für 7-Klässler gefunden. Schau mal hier, gleich am Anfang gibt es Aufgaben, die in die Prozentrechnung einführen sollen. Und die eine geht so:
Von den 32 Schülern der Klasse 7a erhielten 8 Schüler beim Sportfest eine Urkunde; von den 21 Schülern der Klasse 7b waren es 7 Schüler. Welche Klasse hatte den größeren Erfolg?
Max Hahaha
Rike Da habe ich mich mal in so einen Schüler hineinversetzt – also so gut, wie ich das kann – und versuche, die Aufgabe zu lösen. Vermutlich ist dieses Sportfest so etwas wie die Bundesjugendspiele und ich würde die sportlichen Erfolge wie bei diesen Bundesjugendspielen oder beim Sportabzeichen bewerten. Eigentlich sind es Leichtathletikwettkämpfe mit 4 Disziplinen:
- Lauf kurze Strecke
- Lauf lange Strecke
- Weitsprung
- Wurf
Max Ja, habe ich auch mal gemacht.
Rike Um den Erfolg zu berechnen, brauche ich ein mathematisches Modell. Vielleicht kann ich mal mit dem Weitsprung anfangen, hier ist gerade so ein „motivierendes“ Bild! Also, wir haben an Informationen:
- Die 7a hat 32 Schüler und 8 davon erhalten eine Urkunde.
- Die 7b hat 21 Schüler und 7 davon erhalten eine Urkunde.
Max Richtig.
Rike Beim Sportabzeichen bekommt jeder 7-Klässler, der 4,40 m weit springt, eine Art Goldmedaille, wenn wir mal nur mit einer Sportart anfangen.
Max Okay, wenn sie mal zu uns zum Handball nach Lemgo kommen wollen, müssen sie noch etwas weiter springen.
Rike Okay, lass uns mit 4,40 m anfangen. Jetzt entwerfe ich einen Zufallsgenerator. Der Einfachste wäre, wenn die Weiten immer um den Erwartungswert herum liegen.
Zufällige Sprünge
Max Aber dann wäre jeder Sprung unabhängig zufällig. Da fehlen der Mannschaftsgeist und der Wille, immer weiter zu springen.
Rike Stimmt. Dann baue ich so einen Zufallsgenerator dafür, dass jeder Schüler einer Mannschaft bei jedem folgenden Sprung versucht, weiter zu springen, quasi einem Höhepunkt entgegen.
Max Gut, aber denke daran, manchmal klappt was nicht und geht mit derselben Anstrengung daneben, wie sie zum Erfolg führt.
Rike Haha. Gut, ich baue einen Plus-Minus-Zufall ein, der aber mit jedem Sprung mehr zum Plus hin tendiert.
Max Ja, das ist gut.
Rike Dann sortiere ich die Schüler nach den Weiten ihrer Sprünge und ihren Anstrengungen, weiter zu springen. Der erste startet nahe 4,40 m und versucht, jedes Mal 2 cm weiter zu springen, der zweite bei 4,41 m und mit Anstrengungen, jedes Mal 3 cm weiter zu springen usw.
Max Okay.
Rike Wieviel Sprünge sollen sie machen?
Max Naja, jeder so 20? Das wäre eine hübsche Trainingseinheit.
Rike Okay. Die 7a hat 8 sportliche Schüler, jeder springt 20 Mal. Die 7b springt auf der Nachbaranlage und schafft in derselben Zeit 23 Sprünge für jeden. Den Zufall lasse ich bei beiden gleich, bei der 7b fehlt nur der 8. Schüler. Ist das fair?
Max Ja, das ist fair.
Rike Mein Ergebnis sieht dann so aus:
Max Rike, das hast Du toll ausgerechnet.
Definition von Erfolg
Rike Danke. Jetzt kommt die eigentliche Fragestellung: Welche Klasse hat mehr Erfolg? Da habe ich bei Wiki nachgeschaut und gefunden:
Erfolg ist, wenn das Verhältnis von den Änderungen Deiner Herausforderungen zu den Änderungen Deiner Fähigkeiten ungefähr 1 ist, mit der fortschreitenden Zeit betrachtet.
Max Ist das denn nicht etwas umständlich?
Rike Naja, im Mathebuch ist Erfolg nicht erklärt. So, jetzt kommen wir zu den Herausforderungen: Ich würde mal sagen, die Herausforderung beim Weitsprung dieser Art ist, wenn Du jedes Mal über 4,40 m springst, obwohl Deine Kräfte nachlassen, also die Herausforderung 
und
Die Fähigkeiten wären für den i-ten Schüler beim k-ten Sprung die Länge des Sprunges 
Der Erfolg des i-ten Schülers beim k-ten Sprung wäre
das wäre schon mal ein Differenzenquotient. Mein Gott, ich frage mich, sollen die Jungs etwa unendlich lange springen und die Schüler „anschließend“ noch den Grenzwert ausrechnen?
Max Hey Rike, das ist bestimmt nicht gemeint.
Rike Bei meinen Simulationen kommt nirgends
raus. Schau mal, wenn ich den Schüler aus der 7b nehme, der 4,85 m im letzten Sprung gesprungen ist und seinen Erfolg 
Max Das ist doch klar, beim Wettkampf geht es doch nicht darum, Herausforderungen und Fähigkeiten im Gleichgewicht zu halten!
Rike Verstehe. Soll ich dann sagen, der Erfolg E einer Mannschaft ist die Summe aller Teilerfolge
oder wäre es besser, das Maximum aller Einzelerfolge einer Mannschaft zu bestimmen
Max' Vorschlag für "Erfolg"
Max Rike, diese Erfolgsdefinition ist nicht so richtig sportlich. Sportlich ist, wenn die Mannschaft mit dem weitesten Sprung gewinnt.
Rike Okay, Du hast recht, das ist die
7b mit 4,85 m!
Die 7a hat nur 4,75 m geschafft.
Max Sag mal, gewinnt bei Dir die 7b immer?
Rike Gute Frage, wart mal, wenn ich die Mannschaften erneut starten lasse mit denselben Anfangsbedingungen und Anstrengungen und den Zufallsgenerator neu aufrufe …, hier ... die 7a gewinnt!
Max Was, als Ergebnis der Aufgabe ist an einem Tag „7a“ richtig und an einem anderen „7b“? Und das ist die Einführung in die Prozentrechnung? Irgendwas stimmt da didaktisch nicht!
Rike Hahaha
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Übungsaufgabe
Finde Algorithmen zur Berechnung der Weiten und des Erfolgs!