Charly kommt vom Joggen, duscht sich, schaut auf sein Handy und findet unerwünschte Werbung. Rike hört Musik und sortiert den Einkauf in den Kühlschrank.
Charly Habe ich dir eigentlich schon von der schwierigen Stochastik-Abiaufgabe "Gutschein-App" erzählt?
Rike Nö, was ist damit?
Charly Sie hat mehrere Bugs drin, ich hätte ein Problem, die zu korrigieren. Doch das war vor meiner Zeit hier.
Rike So schlimm? Zeig mal her!
Charly Hier!
Die Gutschein-App und Anna
Stochastik: Gutschein-App
In einer Handy-App kann ein Nutzer jeden Tag bis zu 8 Überraschungsboxen öffnen, wobei jede Box eine Wahrscheinlichkeit von 30 % hat, einen Rabattgutschein zu enthalten.
[…]
c) Anna hat bereits zwei Tage in Folge genau 6 Gutscheine erhalten. Sie behauptet, dass sie deshalb eine geringere Wahrscheinlichkeit hat, am nächsten Tag wieder 5 Gutscheine zu bekommen. Beurteilen Sie die Aussage von Anna.
[Mathematik Abitur 2022, S. 13]
Rike Ach Gott! Ein Nutzer kann jeden Tag 8 "Überraschungsboxen" anklicken und erhält dann zufällig einen Rabattgutschein? Ist das nicht voll daneben? Der Jugend aus Berlin und Brandenburg werden Gutscheinjäger als Gewinner und Helden dargestellt? Sollten sie nicht etwas fürs Klima tun, Ressourcen schonen und vor allem auf Konsum verzichten?
Charly Ja, ja!
Rike Mir fällt auf, dass alles männlich geschrieben wurde, nur an einer Stelle, hier bei c), kommt ein Mädchen vor, Anna, die sich unglücklich ausdrückt und alle sollen herausfinden, wie blöd sie ist.
Charly Ja, Rike, so ein Mist. Sie hat zwei Tage hintereinander genau 6 Gutscheine erhalten und bezweifelt nun, dass sie am nächsten Tag w i e d e r 5 Gutscheine erhalten kann.
Rike Das ist missverständlich formuliert. Dieses "wieder 5" wird so betont, dass man meint, genau 5 zu bekommen. Also lange Rede, kurzer Sinn, die Aufgabe ist nicht korrekt formuliert und kann nicht gelöst werden.
9 Versuche statt 8 an einem Tag
Charly Das sehe ich auch so. Hier haben wir noch die Aufgabe e).
e) Bestimmen Sie, wie viele Boxen ein Spieler mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % mindestens einen Gutschein zu bekommen.
[ebda.]
Rike In der vorgeschriebenen Lösung wird der Ansatz
benutzt und schließlich für das komplementäre Ereignis nach 
aufgelöst:
Das ergibt
folglich für natürliche haben wir
Das heißt, erst mit 9 Versuchen erhält man mit der Wahrscheinlichkeit von 95 % einen Gutschein. Da man aber nur 8 Versuche an einem Tag hat, klappt das nicht. Das kann ich aber auch anders lösen: Ich berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 
, mindestens einen Gutschein zu erhalten, so:
Dabei ist natürlich wieder binomial verteilt mit 
.
Charly Richtig. Man erhält an einem Tag mit 8 Versuchen und mit gerade mal 94.24 % einen Gutschein. Also kannst du trotz Ausnutzung aller Versuche keinen Gutschein mit 95 % Sicherheit gewinnen.
Rike Okay, so habe ich mit diesem Ansatz die 2. Aufgabe „verhauen“. Kann ich überhaupt noch bestehen?
3 Geldgutscheine mit jeweils weniger Gewinn
Charly Na, mal sehen. Hier kommt schon die nächste Teilaufgabe:
Jede Woche gibt es in der App eine Sonderaktion, bei der ausgewählte Nutzer Geldgutscheine gewinnen können. Dabei können entweder 0 €, 5 € oder 20 € mit folgenden Wahrscheinlichkeiten gewonnen werden:
Geldwert 0 € 5 € 20 € Wahrscheinlichkeit 60 % 35 % 5 %
g) Ein Nutzer ist für die nächsten drei Sonderaktionen ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er jede Aktion weniger Geld gewinnt.
[ebda.]
Was sagst Du dazu?
Rike Moment mal, hier kann ich 0 € gewinnen? Was soll das? Geldgutscheine mit einem Wert von 0 €? Ist das ein Scherz? Das ist doch kein Gewinn! Ich kann mich ziemlich darüber aufregen, deshalb ist die Aufgabe für mich sinnlos.
Charly Das habe ich mir schon gedacht.
Rike Wie würdest du denn die Aufgabe retten, wenn du dürftest?
Charly Haha, ich darf das niemals. Aber gut, nur für dich: Ich würde einfach diese 0-€-Gutscheine nicht erwähnen, die gäbe es bei mir gar nicht.
| Geldwert | 5 € | 20 € |
| Wahrscheinlichkeit | 35 % | 5 % |
Nur leider macht dann die Aufgabe g) keinen Sinn. Die ist nicht lösbar, weil man nur 20 € und 5 € in absteigender Folge gewinnen kann, also in nur 2 Aktionen, aber nicht in 3.
Rike Okay, dann habe ich durch dich schon wieder eine unlösbare Aufgabe bekommen. 0 Punkte?
Charly 0 Punkte, leider. Jetzt kommt die letzte Aufgabe:
Wahrscheinlichkeiten bei vorgegebenem Erwartungswert
i) Die Wahrscheinlichkeiten für die 5 € und 20 € Gewinne wurden so geändert, dass im Mittel bei 500 teilnehmenden Spielern 2 125 € ausgeschüttet werden. Bestimmen Sie die neuen Wahrscheinlichkeiten.
[ebda.]
Diese Aufgabe erhält durch das Weglassen der 0-€-Gewinne eine neue Intention, versuch doch mal, die zu lösen.
Rike Okay. Der Erwartungswert für einen Spieler oder einer Spielerin für das Ereignis Z, Gutscheine von zufälligem Wert zu gewinnen, ist
Wenn ich mal die Wahrscheinlichkeit, 5 € zu gewinnen, mit 
bezeichne, und 
nehme ich für die Wahrscheinlichkeit, 20 € zu gewinnen, dann müssen die beiden Wahrscheinlichkeiten die Ungleichungen
erfüllen. Für die Berechnung desselben Erwartungswertes erhalten wir die Gleichung
Setzen wir die beiden Werte für den Erwartungswert gleich, dann ergibt sich
und schließlich
Charly, ich habe eine lineare Beziehung zwischen und mit unendlich vielen Lösungen 
für diese Aufgabe gefunden.
für Wahrscheinlichkeiten in Türkis, um im Mittel 2 125 € an 500 Spieler auszuschütten. Die Ungleichungen für die Wahrscheinlichkeiten sind erfüllt für 
Charly Toll, Rike! Trotzdem würdest du der vorgesehenen Lösung nicht entsprechen und keinen Punkt erhalten. Für die Aufgaben c), e), g), und i) erhältst du 0 Punkte, wenn du die anderen, typischen Binomialaufgaben löst, kriegst du 18 von 30 Punkten.
Rike Das wären 60 % aller Punkte für diese Aufgabe? Was gibt das bei euch für eine Note?
Charly Na, eine 3-, knapp befriedigend, Rike!
Rike Damit dürfte ich nicht Mathe studieren?
Charly Haha, die Uni muss erst noch gefunden werden!
***
Übungsaufgaben
- Finde weitere sinnvolle Alternativen zur Gutschein-App-Aufgabe.
- Ist die Lösung für i), die man bei der ursprünglichen Intention erhält, Teil von Rikes Lösung?