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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

II-04_titel_jule_landschaftspark

Musterbildung bei algebraischen Zahlen

Rike fährt dieses Wochenende zu ihrer Schwester Jule nach Duisburg. Sie besuchen den Landschaftspark Duisburg-Nord. Bei Einbruch der Dunkelheit wird er beleuchtet. Er erinnert Rike an ein Bild von algebraischen Zahlen. Sie zeigt es Jule auf dem Smartphone.

Rike Hier, schau, hier ist ein Bild von algebraischen Zahlen, sieht aus wie die Duisburger Kulisse.

Algebraicszoom_01
© Stephen J. Brooks, 2010, https://en.wikipedia.org/wiki/File:Algebraicszoom.png, Aufruf am 30.11.2017

 

Algebraische Zahlen

Jule Achja, algebraische Zahlen, Du nimmst ein Polynom mit rationalen Koeffizienten

x^n + q_{n-1} x^{n-1} + \dots + q_1 x + q_0 = 0,

q_k \in Q,

und die Nullstellen x sind algebraische Zahlen. Sie bilden einen linearen Raum und sind linear abhängig, wenn man die Potenzen x^k als Variablen versteht. Du wolltest mir noch erklären, was mit den q_k und x ist.

Rike Ja, machen wir. Du weisst ja noch, dass die Koeffizienten q_k rational sind.

Jule Warum eigentlich?

Rike Naja, die rationalen Zahlen bilden einen Körper und lassen sich gut durch Rechner darstellen, sie sind Quotienten ganzer Zahlen.

Jule Okay. Und sag, da hat jemand algebraische Zahlen numerisch berechnet?

Rike Ja, Stephen Brooks hat ein Programm geschrieben, mit dem er eben diese Polynome

x^n + q_{n-1} x^{n-1} + \dots + q_1 x + q_0 = 0

erzeugt. Und dann berechnet er die Lösungen. Lass uns mal ein recht einfaches Polynom nehmen:

x^2 + 1 = 0.

Jule Hmm. Das hat komplexe Lösungen, hatten wir gerade im Studium:

x_{1,2} = \pm i

II_beitrag_04_bild_01_v_02
Fall n=2

Der Fundamentalsatz der Algebra

Rike Stimmt, dann verstehst Du, dass so ein Polynom n-ten Grades n komplexe Lösungen hat.

Jule Okay.

Rike Lass uns nun

x^3 + 1 = 0

nehmen. Um die Gleichung zu lösen, hilft die eulersche Formel weiter, wir schreiben für eine komplexe Zahl

Eulersche Formel

x = r e^{i \varphi}        ,\  r > 0,\ r, \varphi \in R

n-te Wurzeln aus -1

Die n-ten Wurzeln sind dann

x_k = \sqrt[n]{r} e^{\ i \frac{\varphi+2k\pi}{n}}                     ,\ k=0, 1, 2,..., n-1.

Bei uns, mit

x^3 + 1 = 0

haben wir

-1 = 1\cdot  e^{i\pi}   = 1\cdot e^{i(\pi+2k\pi)}            , k \in Z

und folglich

x_k =  \sqrt[3]{1} \ e^{i\ \frac{\pi+2k\pi}{3}}       , k=0, 1, 2.

Das ergibt

x_1 = e^{\ i\frac{\pi}{3}}

x_2 = e^{i\pi}

x_3 = e^{\ i\frac{5\pi}{3}}

II_beitrag_04_bild_02_v_02
Fall n=3

Jule Stimmt!

Rike Und so weiter. Für die 4. Wurzel aus -1 erhalten wir folgendes Bild:

II_beitrag_04_bild_02_v_02
Fall n=4

Jule Cool!

Rike Stephen Brooks hat Polynome bis zum 8. Grad zugelassen, und

x^8 + 1 = 0

hat die Lösungen:

II_beitrag_04_bild_04_v_02
Fall n=8

Jule Das sind nur Mustergleichungen, wenn wir jetzt einen freien Parameter zulassen, zum Beispiel

x^n  + q_0 = 0, \ q_0 > 0, \ q_0 \in Q,

dann kriegen wir

x^n  = - q_0,

so eine Art Skalierung für die Lösung.

Rike Richtig, die Lösungen dieser Gleichung sind dieselben x_k wie die für

x^n  = -1,

nur ein Skalierungsfaktor: \sqrt[n]{ q_0}. Die Lösungen liegen alle auf dem Kreis mit dem Radius

r = \sqrt[n]{q_0}

II_beitrag_04_bild_05_v_02
Rationale Vielfache der Lösung x_1 fürn=4 sind auch algebraische Zahlen.

Das sind abzählbar unendlich viele, ja \aleph_0 viele.

Jule Verstehe, füllen die nicht die Geraden nahezu aus?

Rike Ja, sie füllen die fast überall aus. Die Kreis- und Richtungsstruktur mit den Winkeln

0°, 22,5°, 25,71°, 30°, 36°, 45°, 60°, 90°

ist ganz klar zu sehen.

Algebraicszoom_03
Unter Verwendung des Bildes von Stephen J. Brooker, 20010, https://en.wikipedia.org/wiki/File:Algebraicszoom.png Brooks hat die Punkte eingefärbt: algebraische Zahlen, die zu Polynomen 1. Ordnung gehören, sind rot, 2. Ordnung ~ grün, 3. Ordnung ~ blau, 4. Ordnung ~ gelb ... und 8. Ordnung ~ grau.

Reelle Lösungen

Dann gibt es noch Gleichungen mit garantierten reellen Lösungen:

x^n - 1= 0

Jule Ja, klar, 1 und -1 sind Lösungen.

Rike Wenn wir die wieder “skalieren”, also

x^n  - q_0 = 0, \ q_0 > 0,\;q_0 \in Q

betrachten, dann haben wir schon mal

x_{1,2} = \pm \sqrt[n]{q_0}

als reelle Lösungen. Diese algebraischen Zahlen liegen auf der reellen Achse und füllen sie fast aus.

II_beitrag_04_bild_06_v_02
Einige algebraische Zahlen auf der reellen Achse.

Jule Aber wie hat dieser Stephen die Wurzeln berechnet? Wir konnten das nicht. Gibt es noch einen Trick?

Rike Schau mal, der Code für sein Programm ist veröffentlicht. Natürlich rechnet er nur mit Näherungen, also mit rationalen Zahlen.

Jule Dann sind diese Punkte hier in seinem Bild gar keine algebraischen Zahlen?

Rike Nein, die meisten sind komplexe Zahlen x_k mit rationalen Real- und Imaginärteil, die näherungsweise

x^n + q_{n-1} x^{n-1} +\dots+ q_1 x + q_0 = 0

lösen.

Jule Müsste nicht die ganz Ebene dicht ausgefüllt sein? Am Rand wird es dünner?

Rike Ja, Du hast recht, er geht bis zum 8. Grad bei den Polynomen und hat nicht alle Skalierungen zugelassen, er hat, wart mal, hier stehts,

\sum_k|q_k|+1 \leq 15

gefordert.

Jule Okay, sieht trotzdem schön aus!

***

Übungsaufgabe

Gibt es in Brookes Bild auch "echte" algebraische Zahlen?

Lösung

Ja, i, 0, 1, 2 und alle anderen rationalen Zahlen, weil auch Polynome 1. Grades zugelassen sind.