Vektorraum algebraischer Zahlen

Jule, Rikes Schwester, kommt am Wochenende mal wieder ins Lipperland und hat einen Kuchen mitgebracht. Jule hat ihr Abitur bestanden, sie hat an einer renommierten Uni angefangen, Angewandte Informatik zu studieren, sie hat inzwischen ihr erstes objektorientiertes Programm geschrieben und ein bisschen Algebra und Prädikatenlogik gehört. Aber sie weiß nicht, wie man konkrete Zahlen berechnet.

Jule Hi, Rike, ich wollte Dich gerne mal hier besuchen! Wie geht es Dir, was macht Dein Spiel?

Rike Hi, Jule, schön , dass Du kommst. Das Spiel geht voran, für die erste Etappe habe ich eine Finanzierung, ich könnte noch Mitstreiter gebrauchen. Aber wie geht es Dir? Wie gefällt es Dir im Ruhrpott?

Jule Der Einstieg war echt schwierig. Ich musste auf einmal in Anweisungen denken und Fehler suchen – in Programmen, die ich selbst geschrieben habe und die doch so simpel waren, aber einfach nicht laufen wollten......

Rike Hmmm, kommt mir bekannt vor. Ich habe neulich mit Max über reelle Zahlen diskutiert, und festgestellt, dass wir am Ende immer nur rationale Zahlen darstellen. Schon bei habe ich ein Problem. Wir können das nur näherungsweise berechnen.

Jule Berechnen heißt ja, endlich viele Anweisungen ausführen...

Rike Ja, stimmt, man braucht eine Vorschrift und soll nur endlich viele Anweisungen auszuführen. Ich habe da neulich einen interessanten algebraischen Zugang gelesen:

Jule Erzähl!

Vektorräume

Rike Kennst doch Vektorräume? Das sind Räume in denen Du Vektoren addieren kannst:

wo es den Nullvektor gibt:

und das Negative eines Vektors :

Jule Klar, eben Vektoren, kenne ich im 3-Dimensionalen.

Rike Ja, und jetzt nehmen wir noch Vielfache zu und lassen rationale Faktoren zu:

und noch ein paar Distributivgesetze.

Jule Ok. Und weiter?

Rike Die Vorstellung mit den 3-dimensionalen Vektoren musst Du jetzt vergessen.

Jule Ja?

Lineare Abhängigkeit

Rike Ja, wir schreiben erst mal die Gleichung für lineare Abhängigkeit von Vektoren auf:

und die sind rational. Wenn es eine Lösung gibt und nicht alle sind, dann sind die Vektoren linear abhängig. Dann kannst Du als Linearkombination von den anderen Vektoren schreiben:

Ein Vektorraum für Zahlen

Jule Okay. Was hat das jetzt mit Zahlen zu tun?

Rike Nehmen wir mal

Jule Okay, dann ist linear abhängig von

Rike Stimmt. Und wenn Du jetzt die Vektoren und zeichnest, also im 3-dimensionalen Raum, dann beschreibt die Gleichung

dass aus und berechnet werden kann, und wir haben schließlich eine 2-dimensionale Fläche.

Jule Okay.

Rike Und jetzt verlassen wir diese Vektorenvorstellung wirklich, also diese Pfeile und Richtungen, wir setzen für Zahlen ein

Jule Was,

Rike Gute Frage, das ist die -te Potenz von Und aus

wird dann

Jule Und weiter?

Rike Jetzt haben wir die Eigenschaft, dass und die

erfüllen, linear abhängig sind. Und dieses ist ihre Gleichung.

Jule Jetzt müssen wir die nur noch lösen, klar

sind die Lösungen.

Rike Ja, wir setzen den "Vektor"

Und

ist natürlich linear abhängig von Außerdem haben wir die "Vektoren"

und

also

und

sind linear abhängig.

Berechnung von Nullstellen von Polynomen

Jule Naja, nicht schlecht, aber mit dem Berechnen bin ich noch nicht viel weiter.

Rike Richtig, wir bestimmen einfach die Nullstellen von

Nehmen wir mal das Newton-Verfahren, dann hätten wir mit einen schönen Startwert, warte mal, ja, das klappt.

Algebraische Zahlen

Jule Dann hast Du jetzt vorgeschlagen, Zahlen mit ihren Potenzen als Vektoren im Vektorraum zu verstehen. Ihre Nullstellengleichung ist ein Polynom mit rationalen Koeffizienten – und gleichzeitig eine lineare Gleichung mit denals unbekannte Veränderliche. Es ergibt ihre lineare Abhängigkeit und außerdem gleich noch eine schöne Gleichung zum Berechnen der Nullstellen für das Newton-Verfahren.