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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

II-03_titel_jule

Vektorraum algebraischer Zahlen

Jule, Rikes Schwester, kommt am Wochenende mal wieder ins Lipperland und hat einen Kuchen mitgebracht. Jule hat ihr Abitur bestanden, sie hat an einer renommierten Uni angefangen, Angewandte Informatik zu studieren, sie hat inzwischen ihr erstes objektorientiertes Programm geschrieben und ein bisschen Algebra und Prädikatenlogik gehört. Aber sie weiß nicht, wie man konkrete Zahlen berechnet.

Jule Hi, Rike, ich wollte Dich gerne mal hier besuchen! Wie geht es Dir, was macht Dein Spiel?

Rike Hi, Jule, schön , dass Du kommst. Das Spiel geht voran, für die erste Etappe habe ich eine Finanzierung, ich könnte noch Mitstreiter gebrauchen. Aber wie geht es Dir? Wie gefällt es Dir im Ruhrpott?

Jule Der Einstieg war echt schwierig. Ich musste auf einmal in Anweisungen denken und Fehler suchen  in Programmen, die ich selbst geschrieben habe und die doch so simpel waren, aber einfach nicht laufen wollten......

Rike Hmmm, kommt mir bekannt vor. Ich habe neulich mit Max über reelle Zahlen diskutiert, und festgestellt, dass wir am Ende immer nur rationale Zahlen darstellen. Schon bei\sqrt{2} habe ich ein Problem. Wir können das nur näherungsweise berechnen.

Jule Berechnen heißt ja, endlich viele Anweisungen ausführen...

Rike Ja, stimmt, man braucht eine Vorschrift und soll nur endlich viele Anweisungen auszuführen. Ich habe da neulich einen interessanten algebraischen Zugang gelesen:

Jule Erzähl!

Vektorräume

Rike Kennst doch Vektorräume? Das sind Räume V, in denen Du Vektoren addieren kannst:

v_1+v_2 = v_2+ v_1 \in V,

wo es den Nullvektor 0 gibt:

v + 0 = 0 + v = v,

und das Negative (-v) eines Vektors v:

v + (-v) = (-v) + v = 0

Jule Klar, eben Vektoren, kenne ich im 3-Dimensionalen.

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Rike Ja, und jetzt nehmen wir noch Vielfache zu und lassen rationale Faktoren zu:

q v \in V, \ q \in Q

1 v = v

und noch ein paar Distributivgesetze.

Jule Ok. Und weiter?

Rike Die Vorstellung mit den 3-dimensionalen Vektoren musst Du jetzt vergessen.

Jule Ja?

Lineare Abhängigkeit

Rike Ja, wir schreiben erst mal die Gleichung für lineare Abhängigkeit von n+1 Vektoren auf:

v_n + q_{n-1} v_{n-1} + \dots + q_1 v_1 + q_0v_0 = 0,

und die q_k sind rational. Wenn es eine Lösung v_k = 0 gibt und nicht alle q_k = 0 sind, dann sind die Vektoren linear abhängig. Dann kannst Du v_n als Linearkombination von den anderen n Vektoren v_k schreiben:

v_n = - q_{n-1} v_{n-1} - \dots - q_0 v_0.

Ein Vektorraum für Zahlen

Jule Okay. Was hat das jetzt mit Zahlen zu tun?

Rike Nehmen wir mal

v_2 + 0v_1 - 2v_0 = 0

Jule Okay, dann ist v_2 linear abhängig von v_0:

v_2 = - 0v_1 + 2v_0 = 2v_0

Rike Stimmt. Und wenn Du jetzt die Vektoren v_0, v_1 und v_2 zeichnest, also im 3-dimensionalen Raum, dann beschreibt die Gleichung

v_2 = 2v_0,

dass v_2 aus v_1 und v_0 berechnet werden kann, und wir haben schließlich eine 2-dimensionale Fläche.

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Jule Okay.

Rike Und jetzt verlassen wir diese Vektorenvorstellung wirklich, also diese Pfeile und Richtungen, wir setzen für v_k Zahlen ein

v_k = x^k

Jule Was, x^k\mathrm{?}

Rike Gute Frage, das ist die k-te Potenz von x. Und aus

v_2 + 0v_1 -2v_0 = 0

wird dann

x^2 + 0x^1 - 2x^0 = x^2 - 2= 0

Jule Und weiter?

Rike Jetzt haben wir die Eigenschaft, dass x^2,\ x^1=x und x^0=1, die

x^2 - 2= 0

erfüllen, linear abhängig sind. Und dieses ist ihre Gleichung.

Jule Jetzt müssen wir die nur noch lösen, klar

x=\pm \sqrt{2}

sind die Lösungen.

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Rike Ja, wir setzen den "Vektor"

x^1 = \sqrt {2}.

Und

-x^1 = - \sqrt{2}

ist natürlich linear abhängig von x^1.Außerdem haben wir die "Vektoren"

x^2 = 2,

und

x^0 = 1,

also

1, \sqrt{2} und  2

sind linear abhängig.

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Berechnung von Nullstellen von Polynomen

Jule Naja, nicht schlecht, aber mit dem Berechnen bin ich noch nicht viel weiter.

Rike Richtig, wir bestimmen einfach die Nullstellen von

p(x) = x^2 - 2= 0

Nehmen wir mal das Newton-Verfahren, dann hätten wir mit x_o=2 einen schönen Startwert, warte mal, ja, das klappt.

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Algebraische Zahlen

Jule Dann hast Du jetzt vorgeschlagen, Zahlen x mit ihren Potenzen x^k als Vektoren im Vektorraum zu verstehen. Ihre Nullstellengleichung ist ein Polynom mit rationalen Koeffizienten – und gleichzeitig eine lineare Gleichung mit denx^kals unbekannte Veränderliche. Es ergibt ihre lineare Abhängigkeit und außerdem gleich noch eine schöne Gleichung zum Berechnen der Nullstellen für das Newton-Verfahren.

Rike Hey Jule, Du hast gerade algebraische Zahlen verstanden! Haben wir noch mehr Kuchen?

Jule Klar!

Rike Super, später muss ich Dir noch die Rolle der x^k und q_k erklären...

***

Übungsaufgabe

Nenne weitere Beispiele algebraischer Zahlen!

Lösung

Das sind alle möglichen Lösungen von

x^n + q_{n-1} x^{n-1} + \dots + q_1 x + q_0 = 0,

mit

q_k \in Q,

also zum Beispiel

x^3 - 2 = 0 .

Das hat offensichtlich die Lösung

x_1 =  \sqrt[3]{2} .

Wenn wir nun

x^3 - 2

durch

x-x_1=x-\sqrt[3]{2}

teilen, erhalten wir

x^2+\sqrt[3]{2}\;x+\sqrt[3]{4} .

Dafür benutzen wir die p-q-Formel. Leider ist die Diskriminante

D:= \frac{p^2}{4}-q = \frac{\sqrt[3]{4}}{4}-\sqrt[3]{4} < 0.

So bekommen wir zwei weitere komplexe Wurzeln

x_{2,3} =  \frac{\sqrt[3]{2}}{2} \pm i\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2}

.
x_{1,2,3} sind algebraische Zahlen.