Skalarprodukt und Hilberträume

Rike erzählt Ben weitere Anekdoten aus ihrer Kindheit.

Rike Wir hatten also Koordinatensysteme und Vektoren bei Wiezorek, wir haben die Länge von Vektoren nach dem Satz des Pythagoras berechnet, haben immerzu kleine mechanische Aufgaben gerechnet, wo man Vektoren für die resultierende Kraft addieren musste, und schließlich kamen Aufgaben, wo die Projektion einer Kraft auf eine Gerade berechnet werden sollte.

Wiezoreks Einführung des Skalarproduktes

29_vektoren_03 — Projektion **b_a**des Vektors b auf den Vektor a

Autos, die den Berg hochfahren, Gärtner, die einen Rasenmäher schieben oder Pferde, die einen Wagen mit einem Ritter zogen und die Neigung der Deichsel bekannt war. Lauter unerschrockene Helden, die die Welt jeden Tag besser machen!

Ben Haha! Jetzt bist du aber sehr streng!

Rike Ah! Dann kam der Tag, an dem Wizorek uns die Arbeit erklärte: Als die Kraft , die auf einen Weg projiziert wurde, multipliziert mit der Länge des zurückgelegten Weges:

Naja, dieses kannst du berechnen, wenn du den Winkel und die Länge des Vektors kennst:

Ben Okay.

Rike Ja, das ist schon klar, aber dieses hat Wiezorek als Skalarprodukt von und definiert.

Ben Ich glaube, wir hatten das auch so ungefähr. Was ist dein Problem?

Rike Er hat das Skalarprodukt als mechanische Arbeit im 2D-Raum definiert! Und was ist, wenn es keine mechanische Arbeit gibt, die Winkel sich nicht messen lassen oder die Räume mehr Dimensionen haben?

Ben Hmm.

Rike Und außerdem ist das Skalarprodukt nicht ein zusätzliches Add on, eine nette kleine geometrische Eigenschaft, die man auswendig lernen soll und für diese Rasenmäher-Auto-Ritter-Aufgaben braucht, sondern ganz fundamental. Wenn man das Skalarprodukt in einem Vektorraum hat, dann und erst dann kann man darin Winkel und Längen messen, Projektionen berechnen und und und ... !!!

Ben Rike, ist ja gut! Wie bist du denn mit Wiezorek klargekommen? Hast du ihn wirklich gefragt, wie er das Skalarprodukt berechnet, wenn es keine mechanische Arbeit gibt oder wenn er keine Winkel zwischen den Geraden hat?

Rike Ja, das habe ich!

Ben Und?

Rike Er ist sehr wütend geworden, hat meine Eltern in die Schule zitiert und mich in die letzte Reihe gesetzt.

Ben Tatsächlich?

Rike Ja!

Ben Und deine Eltern?

Rike Die haben mich in Schutz genommen. Meine Mutter hat mir dann das Skalarprodukt erklärt.

Vektorraum X

Und das geht so: Zunächst braucht man einen linearen Raum mit Koeffizienten in oder . Meist heißt er auch Vektorraum. In dem sind die Addition von Vektoren, das Vielfache ihrer Vektoren und das Assoziativgesetze erklärt

Es gibt einen Nullvektor mit der Eigenschaft:

Zu jedem Vektor gibt es einen negativen Vektor , sodass

Ben Aaah, ist eine Gruppe bzgl. der Addition.

Rike Okay, du weißt ja gut Bescheid! Außerdem brauchen wir noch ein paar sinnvolle Eigenschaften für die Vielfachen der Vektoren:

für alle und bzw. .

Ben Okay. Das kann ich mir schon im 2- oder 3-dimensionalen Vektorraum vorstellen.

Rikes Skalarprodukt in X

Rike Ja, richtig. Jetzt kannst du im Vektorraum ein Skalarprodukt als Abbildung von zwei Vektoren in die reellen oder komplexen Zahlen:

definieren. Es muss die Eigenschaften haben:

wieder für alle und bzw. .

Ben Na gut, so stelle ich mir das Skalarprodukt auch vor. Ich kenne es meist nur reell, aber okay.

Rike Wenn du das hast, dann hast du auch die „Länge von Vektoren“, nämlich

Und für den Abstand zweier Vektoren und hast du dann als

Dieser Abstand erfüllt alle Eigenschaften einer Norm, das freut alle Mathematikerinnen und Mathematiker, denn damit haben sie einen normierten Raum. Das hat Wiezorek natürlich auch in seinem Raum oder , aber er hat es als Eigenschaft aus der Darstellung von Vektoren genommen.

Ben Hmm.

Rike Wenn ich jetzt außerdem fordere, dass jede konvergente Folge in diesem Raum mit dieser Norm auch einen Grenzwert besitzt, dann haben ich einen sogenannten Hilbertraum.

Ben Aha, da ziehst du ja einen großen Bogen: von Descartes mit seinem Koordinatensystem über Euklid mit seiner Geometrie von Punkten, Geraden und dem Parallelenaxiom bis hin zu Hilbert! 2000 Jahre Mathematik!

Orthonormalsystem

Rike Na klar, das muss so schon sein. Und jetzt kommt das Beste! In jedem Hilbertraum kann man ein Orthonormalsystem finden, eine Art Basis. Das sind die Einheitsvektoren auf den Koordinatenachsen. Nennen wir die mal . Die Länge 1 kriegen wir durch die Forderung

Außerdem müssen immer zwei von ihnen orthogonal aufeinander stehen:

Im wären das zum Beispiel:

29_koordinatensystem_03 — Orthonormalsystem im R³ mit den Vektoren e₁, e₂, e₃

Damit kann man jeden Vektor im Hilbertraum als Summe dieser Einheitsvektoren mit reellen oder komplexen Koeffizienten darstellen, die man noch dazu sehr leicht mit dem Skalarprodukt ausrechnen kann: