Skip to main content


Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

III_04_titel-senne_02

Wie der Hirschwurz-Haarstrang mathematisiert wird

Rike hat bereits Überstunden im neuen Job und im ersten Projekt gemacht. Sie hat schon einige Stunden vor ihrem Desktop verbracht. Am Wochenende kommt Max und endlich fährt sie ihren PC runter. Sie gehen in der Senne bei Augustdorf spazieren. Ein wunderbarer Sommertag mit viel Sonne. Am Wegesrand wächst der Hirschwurz-Haarstrang. Sie schauen ihn an und freuen sich über die schönen Formen. An einer einzigen Pflanze kann man verschiedene Stadien der Doldenöffnung sehen. Die Dolden haben Hochblätter, die anfangs die Dolden umschließen, sich dann öffnen und später zurückschlagen. Rike ist fasziniert von der Form und sucht gleich eine Formel dafür.

III_04_hirschwurz_DSC_7442

III_04_hirschwurz_DSC_7439

III_04_hirschwurz_DSC_7441

Rike Max, ich finde organische Formen immer wieder schön.

Max Hmm.

Rike Schau mal, es kann gar nicht so schwer sein, die Form eines Hochblattes zu finden. Was hälst Du denn von x^2?

Max Hmm.

Eine Funktion für die Form

Rike Stimmt, eine Normalparabel geht viel zu flach durch den Nullpunkt. Wir nehmen etwas anderes, vielleicht den Tangens – und lassen noch einen freien Parameter c_1 für die Krümmung zu. Schau mal, das passt schon ganz gut:

III_04_bluete_38_07
Tangenskurve mit c_1\;=\;1,2.

Jetzt müssen wir nur noch dieses Schließen um die Blüte und das Zurückschlagen modellieren.

Max Okay.

Rike Ich glaube, es reicht, die Tangenskurve einfach um den Nullpunkt zu drehen.

Max Wie kann man das ausrechen?

Polarkoordinaten

Rike Du bestimmst zu jedem Punkt P auf dem Hochblatt seine Polarkoordinaten:

III_04_bluete_koord_2D_08

Du berechnest den Radius r und den Winkel \varphi:

r\;=\;\sqrt{(x_P)^2\;+\;(z_P)^2}

\varphi\;=\;\arctan\;\frac{z_P}{x_P}

Aus diesen Werten kriegst Du wieder den Punkt

P\;=\;(x_P,\;z_P)

zurück:

x_P\;=\;r\;\cos \varphi,

z_P\;=\;r\;\sin \varphi.

Max Okay.

2D-Drehung für Schließen und Zurückschlagen

Rike Und wenn Du das hast, dann addierst Du für die Drehung den Drehwinkel \psi einfach zu \varphi hinzu:

III_04_bluete_20_05

x_{P_\psi}\;=\;r\;\cos (\varphi\;+\;\psi),

z_{P_\psi}\;=\;r\;\sin (\varphi\;+\;\psi).

Max Okay.

Rike Das lässt sich prima animieren:

 

Max Ja, ganz schön. Aber dieser Hirschwurz ist doch 3-dimensional?

Kugelkoordinaten

Rike Stimmt. Wenn wir so ein Hochblatt um einen Winkel \theta um die z-Achse weiterdrehen, dann kriegen wir das nächste Blatt, und dann immer so weiter.

III_04_bluete_kugelkoordinaten_3d_04-03

Da haben wir gleich so eine Art Kugelkoordinaten. Du kannst jeden Punkt P mit einem Abstand r zu Null und zwei Winkeln \varphi und \theta eindeutig beschreiben.

x_P\;=\;r\;\cos \varphi\;\cos \theta,

y_P\;=\;r\;\sin \theta,

z_P\;=\;r\;\sin \varphi \cos \theta,

Max Klar, das weiß ich.

Rike Prima, dann haben wir die Hochblätter mit ihren Bewegungen vollständig beschrieben. Was meinst Du, passt das so?

 

Max Rike, super! Doch ich frage mich, willst Du denn nicht gleich die ganze Senne in mathematischen Formeln schreiben?

Rike Hahaha, ich höre ja auf!

***

Übungsaufgabe

Wie groß ist \theta für 8 Hochblätter?

Lösung

45°