Finja, Justin und Fabian holen den verpassten Unterricht nach, den ihre Mitschüler und Mitschülerinnen in den letzten Wochen zu Hause machen mussten. Auch sie sind jetzt zu Hause. Sie sollen eine Aufgabe unter der Überschrift Wachstumsprozesse mit der e-Funktion beschreiben lösen. Die Aufgabe geht so:
In einem Labor wird das Wachstum einer Insektenpopulation untersucht. Ein Anfangszustand von 38 Insekten nimmt wöchentlich um 16,2 % zu.
a) Beschreiben Sie das Wachstum der Insektenpopulation mithilfe der e-Funktion.
b) …
Der Wachstumsprozess
Der praktisch veranlagte Fabian interessiert sich für Insekten und die Durchführung von solchen Untersuchungen. Er braucht gar nicht lange, bis er eine Dissertation findet, die einen Versuch über das Verhalten von Insekten beschreibt. In dieser Dissertation wird untersucht, ob der Ampferblatt-Käfer prägbar ist oder nicht. Damit ist gemeint, ob man ihn dazu erziehen kann, statt des von ihm geliebten Ampfers Chinarhabarber zu fressen und sogar seine Eier an diesem abzulegen.
Fabian sagt im Chat mit seinen Freunden: Dieser Käfer kann sich unter Laborbedingungen im Jahr 12 Mal fortpflanzen! Also ca. jeden Monat legt der weibliche Käfer Eier, diese verpuppen sich und schlüpfen als Larven. In seinem Laborleben kriegt er Ampfer oder Chinarhabarber. Er frisst und legt die Eier ab – und die Wissenschaftler schauen zu. Doch nach ca. 27 Tagen ist die Hälfte von der Population gestorben!
Finja Wieso sterben die Käfer?
Fabian Sie sterben ganz normal – eines natürlichen Todes! Dann beenden die Wissenschaftler den Versuch mit dieser Population! Und ich auch! Das ist sinnlos!
Justin Wie konnten sie dann das Prägeverhalten beobachten – wenn sie nach einer Generation aufhören?
Fabian Justin, ich habe mich durch diese Arbeit durchgelesen! Höre: Der Herr Stadl hat einen Stamm von Ampferblatt-Käfern gezüchtet. Jeder weibliche Käfer legt ca. 35 Eier und es hing nur von Herrn Stadl ab, wie viel davon zu Käfern werden. Er hat 8 Generationen von Käfern aus diesem Stamm aufgezogen, gefüttert, mal mit Ampfer mal mit Rhabarber! Er hat beobachtet, gezählt und sie sterben sehen. Die Frage der Vermehrung der Käfer hat gar keine Rolle gespielt. Er hatte Alles fest im Griff.
Justin Verstehe. Warum bist du so wütend?
Fabian Ha! Ich muss jetzt mal raus in die Natur.
Justin Na gut. Schreibst du das Charly?
Fabian ist schon offline.
Lineares Wachstum
Justin Finja, was hast du rausgekriegt?
Finja Na, ich habe 16,2 % von 38 ausgerechnet und bin auf einen wöchentlichen Zuwachs von 6 Insekten gekommen. Ich habe eine lineare Funktion herausbekommen:
Justin Haha! Wie schreibst du das denn mit der e-Funktion?
Finja Das finde ich ziemlich blöd, aber wenn‘s unbedingt sein soll:
Exponentielles Wachstum
Justin Haha! Ich sehe das anders! Die meinen vermutlich, dass jede Woche 16,2 % der letzten Woche dazukommen, also am Anfang haben wir
Eine Woche später das 1,162-Fache davon:
eine Woche später das 1,162-Fache davon:
und so weiter. Ich nehme natürlich immer die ganze Zahl davon:
Finja Natürlich nimmst du immer den ganzen Anteil! Ich auch! Wieso muss man eigentlich raten, was gemeint ist?
Justin Ich versuche einfach, die Aufgabe zu lösen, auch wenn ich nicht genau weiß, was gemeint ist. Fabian hat sich geweigert und ich habe diese Lösung gefunden.
Finja Dann muss Charly entscheiden, was richtig ist.
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Übungsaufgabe
Schreibe Justins Lösung mithilfe der e-Funktion.
Lösung
