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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

beitrag_18-titel-nordsee

Dgln in der 10. Klasse

Max und Rike sind in den Osterferien an die Nordsee gefahren. Beim Beachvolleyball haben sie einen neuen Freund kennengelernt: Charly (30). Er hat Sport studiert und arbeitet als Animateur. Doch jetzt will er als Quereinsteiger Mathe/Sportlehrer werden. Außer Sport mag er Kinder und Mathe. Er hat sich alle Matheschulbücher besorgt, geht sie durch und wundert sich. Heute diskutiert er mit Rike und Max eine tolle Aufgabe über Halbwertzeit.

Wachstums- und Abnahmeprozesse

Charly Rike, hier habe ich eine Aufgabe zu Wachstums- und Abnahmeprozessen:

Bei der Reaktorkatastrophe von Fukushima im Jahre 2011 gelangten die radioaktiven Stoffe Iod 131, Cäsium 134 und Cäsium 137 ins Meer.

  1. Iod 131 ist sehr kurzlebig und hat eine Halbwertszeit von rund 8 Tagen. Berechne jeweils den Abnahmefaktor pro Tag und Stunde.

Max Ist denn Halbwertszeit erklärt?

Charly Ja, hier:

Halbwertszeit: Zeitspanne, in der die Ausgangsmenge durch Zerfall auf die Hälfte gesunken ist.

Rike Ist ja stark! 10. Klasse? Warte mal, ich muss kurz überlegen, okay. Lass uns mal x(t) als Bezeichnung für die Anzahl der Ionen zur Zeit t nehmen. Bei t\;=\;0 lassen wir den Zerfall starten.

Charly Okay, machen wir.

Aufstellen der Dgln

Rike Die Anzahl der Iod-Atome verringert sich proportional zu ihrer Anfangsanzahl, denn in 8 Tagen haben wir ja nur noch die Hälfte, egal, wie viel das ist. Und weil Du in jedem Augenblick t die Ionenanzahl x(t)als neue Anfangsanzahl nehmen kannst, ist die Verfallsgeschwindigkeit v zu jeder Zeit t proportional zur augenblicklichen Anzahl x(t), Charly:

v(t)\;=\;- k\;x(t)

oder

\frac{dx}{dt}\;=\;- k\;\cdot\;x(t),

k\;\gt\;0 für Zerfallsprozesse.

Charly Okay, verstehe. v ist die Geschwindigkeit, oder wie sich die Konzentration verändert. Je mehr Ionen da sind, umso mehr verfallen.

Rike Richtig. Nur,

\frac{dx}{dt}\;=\; - k\;\cdot\;x(t),\;\;\;\;(\mathrm{Dgl})

ist eine gewöhnliche Diffenzialgleichung. Machst Du das echt in der 10. Klasse?

Charly Naja! Ich sehe das sportlich. Ich mache keinen Kindergartensport und auch keine Behindertenmathe mit einer 10. Klasse! Was brauche ich mathematisch dazu?

Anfangswert

Rike Warte, ich zeigs Dir. Wenn wir die Menge zur Zeit t\;=\;0 mit x_0 bezeichnen:

x(0)\;=\;x_0,\;\;\;\;(\mathrm{AW})

dann hast Du einen Anfangswert und die Dgl. mit diesem Anfangswert ist eine Anfangswertaufgabe AWA (= Dgl + AW). Solche haben genau eine Lösung.

Lösung der Anfangswertaufgabe

Max Bloß gut!

Charly Bloß gut!

Rike Das geht so

\frac{dx}{dt}\;=\;-\;kx

Mit einfachem Umformen gehts weiter, da siehst Du, wie stark das Kalkül ist:

\frac{dx}{x}\;=\;-\;k\;dt

Das integrierst Du. Dann ist

\int\;\frac{dx}{x}\;=\;-\;k\;\int\;dt

\ln x\;=\;-\;kt\;+\;c

und stellst es nach x um:

x\;=\;x(t)\;=\;e^{-kt\;+\;c}\;=\;e^{-\;kt}\;\cdot\;e^c

Dann setzt Du noch den Anfangswert für t\;=\;0 ein:

x(0)\;=\;e^{-k0}\;\cdot\;e^c\;=\;1\;\cdot\;e^c\;=\;e^c\;=\;x_0

also ist

x_0\;=\;e^c

und die Lösung der Anfangswertaufgabe ist

x(t)\;=\; x_0\;\cdot\;e^{-\;kt}

18_exp_01-05

Charly Wow!

Parameterbestimmung

Rike Jetzt müssen wir noch dieses k bestimmen:

Max Ja, wir wissen, dass die Halbwertszeit 8 Tage ist.

Rike Stimmt. Wir schreiben, dass zur Zeit

t_h\;=\;8\;\mathrm{Tage}

die Hälfte von der Anfangsmenge da ist:

x(t_h)\;=\;\frac{1}{2}\;x(0)\;=\;\frac{1}{2}\;x_0

Charly Ja!

Rike Und andererseits berechnen wir mit unserer Lösung die Menge der Ionen zur Zeit t\;=\;t_h:

x(t_h)\;=\;x_0\;\cdot\;e^{-kt_h}

Die beiden Ausdrücke setzen wir gleich:

x(t_h)\;=\;\frac{1}{2}\;x_0\;=\;x_0\;\cdot\;e^{-kt_h}

Max Rike, da kannst Du x_0 kürzen!

Charly Das kann ich auch!

\frac{1}{2}\;=\;e^{-\;kt_h}

\ln\;\frac{1}{2}\;=\;-\;k t_h

Jetzt stelle ich nach k um und kriege

k\;=\;-\;\frac{1}{t_h}\;\ln\;\frac{1}{2}

=\;-\;\frac{1}{8\;\mathrm{Tage} }\;\ln\;\frac{1}{2}

=\;\frac{0,6931}{8\;\mathrm{Tage}}

=\;0,0866 / \mathrm{Tag}

18_exp_02-04

Rike Toll!

Abnahmefaktor

Charly Aber den Abnahmefaktor pro Tag und Stunde?

Rike Du rechnest das Verhältnis von der Ionenanzahl einen Tag später x(t+\;1\; \mathrm{Tag}) zur Ionenanzahl zur Zeit t, also x(t), aus!

Charly Ja, kann ich machen.

Rike Lass uns noch einen Namen für diesen Abnahmefaktor finden

Charly a_{\mathrm{Tag}}?

Rike Okay

Charly

a_{\mathrm{Tag}}\;=\;\frac{x(t\;+\;1\; \mathrm{Tag})}{x(t)}

\;=\;\frac{x_0\;\cdot\;e^{-k(t\;+\;1\;\mathrm{Tag})}}{x_0\;\cdot\;e^{-kt}}

\;=\;\frac{e^{-\;kt}\;\cdot\;e^{-\;k\;\cdot\;1\;\mathrm{Tag}}}{e^{-\;kt}}

  \;=\;e^{-\;k\;\cdot\;1\; \mathrm{Tag}}

 \;=\;e^{-\;0,0866/\mathrm{Tag}\;\cdot\;1\;\mathrm{Tag}}

\;=\;e^{-\;0,0866}

\;=\;0,9170

Max Super, Charly, Du kannst das Deiner 10. Klasse bestimmt gut vorrechnen! Ihr werdet Sieger im Pisa-Test!

Charly Hahaha, ich brauche den Begriff der Geschwindigkeit, der ist bekannt, dann Rikes tolle Herleitung, dazu die Stammfunktion und die Expotentialfunktion. Das ist doch zumutbar. Wollen wir jetzt ins Wasser gehen?

***

Übungsaufgabe

Bestimme den Abnahmefaktor für eine Stunde!

Lösung

a_{\mathrm{Stunde}}\;=\;0,9964.