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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

2020_06_gletscher-titel

Differenzenschema für die Gletschergleichung

Heute fahren Finja, Fabian, Justin, Charly und Max mit dem Wissenschaftler von der Uni zum Teufelsegg (3050 m). Ausnahmsweise dürfen sie heute mit dem Lift hochfahren, sie sind ja keine Touristen. Die schönste Hütte Südtirols ist leider geschlossen. Sie wollen die Wetterstation Teufelsegg am Hintereisferner besichtigen. Dort treffen sie den Spezialisten Matthias von der Uni.

Matthias Seid gegrüßt, ihr Buben und mein Mädel, wie ischts? Wir stehen grad hier auf 3000 m, wo die größte Schnee- und Eisfläche ist, hier ist ungefähr die Stelle, wo die Massenbilanz des Gletschers ihr Vorzeichen ändert. Das ist auch die Stelle, wo sich der Eisfluss im Vorzeichen ändert. Nach oben war bis jetzt immer ewiges Eis, nach unten ist es – natürlich im Jahresmittel – geschmolzen. Das muss man alles berücksichtigen, um die Dynamik am Kees zu simulieren.

Justin Guten Tag, Matthias. Wir haben gestern mit Charly die lineare Transportgleichung besprochen und herausgefunden, dass die sehr schwierig ist und – möglicherweise ist sie gar nicht lösbar. Wir verstehen nicht, was ihr an der Uni genau nähert, wenn es vielleicht gar nichts gibt, was zu nähern ist. Sie haben von ihren Simulationen erzählt, und jetzt wollen wir wissen, was sie genau an ihrer Uni simulieren.

Matthias Leiwand! Iahr seid mir welche! Schaut mal hier, das ist der Hintereisferner. Er hat oben, oberhalb dieses kritischen Punktes K sehr viel Eis – und nach unten folgt die Zunge. Wir haben ein parabelförmiges Profil entlang des Wege . Wenn wir den Weg etwas vereinfachen, dann kann ich euch unseren Algorithmus erklären, und ihr könnt den selbst prüfen und überlegen, wie gut er ist.

schrott_hintereisferner_2004
Luftaufnahme des hinteren Rofentales mit dem Hintereisferner und seinen Seitengletschern von der Herbstbefliegung am 10.09.2004. Man beachte die charakteristischen Rückhaltemuster im Akkumulationsbereich. Gut zu erkennen sind ebenfalls der Toteiskörper an der Zunge sowie Seitenmoränen des letzten Höchststandes um 1850. Foto und Bildunterschrift aus: Daniel Schrott: Flächenhafte Modellierung der Energie- und Massenbilanz am Hintereisferner, 2004, S. 4.

Justin Ja, gut, das machen wir.

Matthias Also, wir haben die DGL für unser Transportproblem am Kees:

wobei
S ... Querschnittsfläche durch den Gletscher mit Parabelform,
w … Breite des Gletschers
uVektor für die Geschwindigkeit, mit der sich das Eis bewegt oder Wasser wegfließt
… Masseänderung

Jetzt nehmen wir den Weg einfacher, also ohne Kurven und Ecken, ungefähr so:

v_06_gletscher_05
Vereinfachter Gletscher mit vereinfachtem Weg und kritischem Punkt K

 

Justin Linear? Das ist eine starke Vereinfachung.

Matthias Du kannst ja dann die echte Kurve nehmen, haha.

Vorwärtsdifferenzen für die Zeit

Für die zeitliche Ableitung von S nehmen wir sogenannte Vorwärtsdifferenzen

Fall u ≥ 0

Ist u ≥ 0, dann nehmen wir sogenannte rückwertige Differenzen für den Ort:

Das setzten wir in die DGL ein und erhalten die Differenzengleichung:

1. Differenzengleichung

Daraus ergibt sich eine Rechenvorschrift, mit der man die Fläche zu einem nächsten Zeitpunkt t + τ:

in Abhängigkeit von

berechnen kann:

Courant-Friedrichs-Levy-Bedingung

Ist der Anfangswert

zur Zeit t = 0 gegeben und u, , w bekannt, dann kann man S(t, l) von l=0 bis zum Ende l=L berechnen, man muss nur überlegen, wie man die Enden l=0 und l=L behandelt, das nennt sich Randbedingung. Das Verfahren ist stabil für bestimmte Verhältnisse von τ und h, nämlich, wenn

ist und

.

Justin Verstehe. Dann liegt der Faktor bei S(t, l) zwischen 0 und 1, so können die Werte für S nicht unbeschränkt wachsen.

Matthias Recht so!

Finja Wollen wir das mal berechen, sieht doch gar nicht so schwer aus!

Matthias Klar, habt ihr schon gesehen, dass unser Vektor u, der jetzt eine Zahl wird, oberhalb vom Teufelsegg u negativ wird, da fließt nichts ab!

Finja Na gut. Wir können es ja trotzdem probieren!

Matthias Du bischt ja fesch! Das läuft total aus dem Ruder! Das geht gar nicht. Für negative u muscht du eine andere Diskretisierung wählen.

Finja Aha, und wie geht die? Sollen wir dann das Gegenteil machen? u kommt nur im Ort vor, also Vorwärtsdifferenzen für die örtliche Ableitung?

Matthias Ei, Mann, du biascht gud! Jawoll, das machen wir.

Fall u ≤ 0

Ist u ≤ 0, nehmen wir Vorwärtsdifferenzen entlang des Weges:

Dann erhalten wir als Differenzengleichung:

und können

in (anderer) Abhängigkeit von

berechnen. Die Stabilitätsbedingung ist in diesem Fall

Finja Das war's schon?

Matthias Ja. Wir vereinfachen noch:

Dann bin ich ja mal gespannt.

Finjas und Justins Gletschersimulation

Finja Wollen wir mal?

Justin Gut. Was nehmen wir für die Weite w entlang des Weges ?

Finja Vielleicht eine Exponentialverteilung?

v_06_setting_07
Setting für die Weite w

 

Sie nehmen dieselbe zeitliche Änderung der Masse wie beim letzten Mal. Für den Fluss müssen sie ein bisschen probieren, um mit Matthias mithalten zu können. Sie wählen schließlich einen Fluss u, der oberhalb vom kritischen Punkt K fast Null, aber positiv ist, doch weiter oben negativ ist – ab einem weiteren kritischen Punkt K', dort, wo die Sonne auf den Gletschergipfel knallt; unterhalb K ist u wieder negativ.

v_06_fluss_u_11
Setting für den Fluss mit 2 Vorzeichenänderungen u.

Daraus haben sie das Differenzenschema gelöst, in so vielen Teilschritten, dass es 5 Jahre wurden, haben wegen

Die Höhe h = h(l) aus S berechnet und folgendes erhalten:

v_06_hoehe_pdgl_12
Höhe h0 des Gletschers zu Beginn der Rechnung (blau), und Höhe h nach 5 Jahren (Orange).

Matthias Mit eurem Setting habt ihr berechnet, dass sich die Zunge in 5 Jahren so schnell zurückgezogen hat wie bisher in 50 Jahren. Jo, mei!

***

Übungsaufgabe

Bestimme die Vorschrift zur Berechnung von S(t + τ, l) für u ≤ 0.

Lösung

 

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