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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

III_06_titel_biologe-02

Wie viel Mathematik braucht ein zukünftiger Biologe?

Rike trifft Jan auf einer Geburtstagsparty. Jan möchte gern Biologie studieren, aber er muss wegen des NC noch warten. Auch dieses Jahr hat er noch keinen positiven Bescheid bekommen. Er verbringt viel Zeit im Garten und am PC, doch mit Lehrern kam er nicht so gut klar, so hat er nur ein mittleres Abi geschafft. Er versucht, alle Pflanzen und Tiere, die er kennt, auf seinem PC digital zu katalogisieren. Da trifft es sich gut, dass er Rike trifft. Neben den einheimischen Pflanzen und Tieren möchte er zu gern auch die Flora und Fauna der ganzen Welt kennenlernen. Er hat von einer Blume gelesen, deren Frucht verdreht ist, die Blumenbachia Hieronymi. Sie gedeiht in Südamerika. Um sie zu sortieren, muss er nun topologische Eigenschaften von Pflanzenteilen in seine Liste einführen.

Bachiafrucht

Rike Warum fasziniert Dich denn diese Blumenbachia so sehr?

Jan Diese Verdrehung der Frucht gibt es bei uns nicht. Die möchte ich genauer studieren.

Rike Wie sieht denn die Frucht genauer aus?

Blumenbachia hieronymi (Loasaceae)
Blumenbachia hieronymi (Loasaceae), © Foto von Karl Bloßfeldt, 1932, mit freundlicher Genehmigung des Paul Getty Museums, Los Angeles.

 

Jan Sie ist ca. 2 cm groß und auch innen verdreht. Ich habe hier ein paar antike Bilder von Ignaz Urban:

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Ovarium juvenile transversim sectum, desuper visum. 5x. Querschnitt durch die jungendlichen Fruchtstand, Blick von oben, 5-fache Vergrößerung. Aus: Ignaz Urban: Monographia Loasacearum, 1900.

 

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Ovarium sub anthesi transversim sectum, desuper visum. 5x. Querschnitt durch den Fruchtstand kurz vor der vollen Blüte, Blick von oben, 5-fache Vergrößerung, ebda.

 

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Fructus juvenilis transversim sectus, desuper visus. 1x. Querschnitt durch die jugendliche Frucht, Blick von oben, ebda.

 

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Fructus submaturus transversim sectus, desuper visus. 1x. Querschnitt durch die fast reife Frucht, Blick von oben, ebda.

 

Rike Sag mal, Jan, verstehst Du Latein?

Jan Klar, das brauche ich doch. Ich denke lateinisch und manchmal träume ich auch lateinisch, voll cool.

Rike Okay, Urbans Bilder sehen gut aus, da können wir bei jedem Schnitt in jedem Punkt einen Vektor anbringen, in der Mechanik heißt das, die Torsion bestimmen. In der Mechanik gibt es da Vorbilder.

Jan Ja, das habe ich mir auch schon gedacht....

Torsion eines dünnen Stabes

Rike Das Kalkül geht so: Du stellst die einen dünnen Stab vor, der gleichmäßig verdreht wurde.

III_06_staebe_arnold_03_03
Zwei dünne Stäbe, der rechte ist verdreht.

Jan Okay.

Rike Zuerst brauchst Du ein Koordinatensystem, zum Beispiel ein kartesisches, mittig im Stab, und in der Höhe, na, sagen wir mal, nehmen wir unten den Nullpunkt.

Die Torsion des Stabes durch äußere Krafteinwirkung erzeugt eine Änderung der Geometrie. Aus einem Punkt P wird ein Punkt P':

Verschiebungsvektor u

P\;=\;(x, y, z)\;\longrightarrow\; P'\;=\;(x', y', z')

Verschiebung von P nach P'

Der Vektor

u\;=\;(u_x,\;u_y,\;u_z)\;=\;(x\;-\;x',\;y\;-\;y',\;z\;-\;z')

heißt Verschiebungsvektor. Und die Abbildung u von allen Punkten des Stabes

u:\;\mathbf{R}^3\;\rightarrow\mathbf{R}^3\;:

u(x,\;y,\;z)\;=\;(u_x,\;u_y,\;u_z)

nennen wir mal in unserem Fall Torsionsfeld. An jeden Punkt kannst du den Verschiebungsvektor anheften und bekommst so eine Art Feldlinien.

III_06_verschiebevektor_arnold_01_03
Verschiebevektor u

Den Winkel, den ein Punkt P bei der Verdrehung bis zum Punkt P' mit der Höhe z\;=\;1 überstreicht, nennt man Torsionswinkel \tau. Das sind nur Bezeichnungen und eine Skalierung.

III_06_tau_arnold_09_05
Torsionswinkel \tau

Jan Gut.

Rike Bei einer Torsion eines dünnen Stabes um die z-Achse setzt man:

u_x\;=\;- \tau zy

u_y\;=\;\tau zx

Und erhält für \tau > 0 ein solches Feld

u\;=\;(u_x, u_y)

 

III_06_feld-stab_arnold_04_04
Feldlinien der Torsion des Stabes, u_z=0, siehe Landau.

Jan Genau, eine Linksdrehung, die brauche ich auch. Das Bild nehmen wir für den Querschnitt durch die Frucht an ihrer breitesten Stelle. Aber Blumenbachia ist kein Stab, Rike.

Torsion der Bachiafrucht

Rike Okay. Dann lass uns Kugelkoordinaten nehmen:

x\;=\;r \cos \varphi \cos\theta

x\;=\;r \sin \varphi \cos \theta

x\;=\;r \sin \theta

III_06_kugelkoord_arnold_01_06
Kugelkoordinaten

Lass uns das Torsionsfeld  in Kugelkoordinaten schreiben, Deine Bachia ist doch recht kugeling?

Jan Haha, die Bachiafrucht ist kugelig.

Rike Gut, dann:

u:\;[0,\;R]\;\times\;[0,\;2\pi]\;\times\;[-\pi,\;\pi]\;\rightarrow\;\mathbf{R}^3\;:

u(r,\;\varphi,\;\theta)\;=\;(u_r,\;u_\varphi,\;u_\theta),

u_r ... radiale Verschiebung,
u_\varphi ... Azimutverschiebung,
u_\theta ... Elevationsverschiebung.

Ich würde das Koordinatensystem in die Mitte der Frucht legen, sodass bei der breitesten Dicke der Nullpunkt ist und \theta\;=\;0. Da ist der größte Querschnitt. Dort ist die radiale Verschiebung Null.

Jan Klar! Von da aus deformiert sich die Frucht nach oben und unten, die Querschnitte werden kleiner.

Ansatz für das Torsionsfeld

Rike Richtig. Warte mal, es müsste gar nicht schwer sein, hier,

u_r\;=\;-\tau r \theta

u_\varphi\;=\;\tau

u_\theta\;=\;\psi(\theta)

\psi(\theta) müssen wir noch bestimmen.

Jan Was bedeutet das?

Rike Die 2. Gleichung bedeutet, dass jeder Punkt um den Winkel \tau weitergedreht wird.

Jan Verstehe.

Rike Die erste Gleichung bedeutet, dass der Radius von P zu jedem P‘ sich verkleinert solange \theta\;>\;0 das heißt, die Muster verkleinern sich. Für negative \theta, also unterhalb des Nullpunktes, vergrößert sich der Querschnitt. Am äußeren Radius r = R ist die radiale Deformation am größten, im Nullpunkt am kleinsten.

Jan Okay!

Rike Die letzte Gleichung beschreibt, wie sich die Elevation \theta verändert. Was meinst Du?

Jan In jedem Punkt wird die Elevation größer, sieh Dir doch die Frucht an! Sie ist unten sehr prall, alles drängt nach oben und oben will sie nur noch als Kugel zum Abschluss kommen. Aber wie geht das mathematisch? Unten, bei

\theta\;=\;-\pi

ist u_\theta sehr groß gegenüber u_\varphi, weiter oben ist es umgekehrt?

Rike Jan, Du machst das super! Dann haben wir so einen Verlauf?

III_06_kurve_1_arnold_04_05
Ansatz für die Funktion \psi, die Änderung der Elevation in Abhängigkeit vom Elevationswinklet \theta

Jan Ja, so ungefähr.

Rike Hm, gut, die Formel findest Du doch?

Jan Hm, ja, ist eine Parabel, nach unten geöffnet, ja, beide Punkte einsetzen…

\psi(\theta)\;=\;1\;-\;\big(\;\frac{\theta\;+\;\pi}{2\pi}\big)^2

Rike Stimmt. Jetzt haben wir das Feld in einer Näherung gefunden:

u_r\;=\;-\tau r \theta

u_\varphi\;=\;\tau

u_\theta\;=\;1\;-\;\big(\;\frac{\theta\;+\;\pi}{2\pi}\big)^2

Das ergibt ein schönes Bild:

III_06_feld-frucht_arnold_07_06
Resultierende Feldlinien an der Bachiafrucht

Jan Verstehe! Das passt wirklich gut. Danke, Rike!

Rike Jetzt lass uns Geburtstag feiern!

***

Übungsaufgaben

  1. Wie sieht ein rechtsdrehendes Feld aus?
  2. Zeichne

    u_r\;=\;u_r(\theta)\;=\;-\tau r \theta

    für festes \tau,\;r\>\0.

Lösungen

  1. Du musst nur anstelle von \tau immer -\tau,\;\tau\;>\;0 oder \tau\;<\;0 setzen.
  2. III_06_kurve_2_arnold_04_07