Was die Berechnung von e mit Kant und mit ethischen Prinzipien künstlicher Intelligenz zu tun hat

Heute sind mal wieder Mathehausaufgaben dran. Die Aufgabe lautet:

Berechnen Sie
für n=1, 10, 100, …, 10¹⁴.
Was fällt auf? Begründen Sie!

Grenzwertberechnung mit sehr einfachen Taschenrechnern

Fabian überlegt sich, dass er mit seinem einfachen Rechner vom Handy diese n-te Potenz durch n-fache Multiplikation ausführen muss:

Das kann er nicht 100-mal machen, geschweige denn eine Million Mal oder 10¹⁴-mal. Er schafft es gerade mal bis n = 20, dann hat er keine Lust mehr, blöde Aufgabe!

Näherung von e mit n=20 — Fabians Näherung von e

Er weiß schon, dass er die eulersche Zahl

annähern soll, das ist ja klar und ist auf gefühlt 100 000 Webseiten zu finden. Doch er kommt nur bis n = 20 und erhält als Näherung für

Das stimmt nicht mal an der 1. Stelle nach dem Komma. Was fällt ihm auf? Dass diese Näherung verdammt schlecht ist. Doch das kann er unmöglich Charly als Hausaufgabe abgeben.

Heute kann er seinen Freund Justin nicht anrufen. Der muss zuhause im Garten helfen. Das geht heute wirklich nicht. Also ruft er Finja an.

Fabian Hi, Finja, wie steht’s? Ich komme mit dieser Hausaufgabe zur Berechnung von e nicht klar.

Grenzwertberechnung mit EXCEL

Finja Hi, Fabian, ach, da musst du diese Folge mit dem Taschenrechner ausrechnen und für n die Werte einsetzen. Das ging doch recht schnell, ich habe eine mehr oder weniger gute Näherung von e bekommen:

Näherung von e mit n=10^14 — Finjas Näherung von e

Fabian Ja, ich weiß, aber mein GTR funktioniert nicht, ich habe nur das Handy!

Finja Hahaha, ich lach‘ mich kaputt! Mit dem Handy!

Fabian Naja, bis 20 bin ich gekommen, ich habe

als Näherung herausgefunden.

Finja O shit! Ich habe eine Liste gemacht und gesehen, dass die Näherung bei n = 10¹⁴ nicht besser ist als bei n = 1 000. Das ist mir aufgefallen.

n	Exponent von n, Log₁₀ n	*Korrekte Stellen nach dem Komma*
1	0	0
10	1	0
100	2	1
1 000	3	2
10 000	4	3
100 000	5	4
1 000 000	6	5
10 000 000	7	6
100 000 000	8	6
1 000 000 000	9	5
10 000 000 000	10	5
100 000 000 000	11	5
1 000 000 000 000	12	3
10 000 000 000 000	13	2
100 000 000 000 000	14	2

Fazit mit Kant

Fabian Wie kommt das?

Finja Die Folge (f(n)) konvergiert sehr langsam, bei n = 10⁶ sind nur 5 Stellen nach dem Komma richtig. Der GTR hat nur eine Genauigkeit von 14 Stellen nach dem Komma, sodass auch dieser niemals näher als 14 Stellen an e herankommt. Noch dazu rechnet er bei größeren Zahlen nicht mit der vollen Genauigkeit und wird bei großen Werten für n immer ungenauer. Ich habe Excel genommen, das hat 15 Stellen nach dem Komma und ist auch nicht viel besser.

Fabian Du hast für n eine Billion oder – wie heißt die Zahl – genommen und hast ein schlechteres Ergebnis als für n = 1 Million? Hey, bloß gut, dass ich nicht mit n = 1 Billion die Formel ausgerechnet habe! Bloß gut! Aber sag mal, dann kann ja gar keiner e bestimmen. Es klappt nicht. Du nicht, Justin nicht, Charly auch nicht? Was ist das denn für eine blöde Aufgabe?

Finja Fabian, es geht nicht darum, die Aufgabe oder Bücher zu kritisieren, sondern herauszufinden, ob man e überhaupt nähern kann. Es ist nicht wichtig, was du oder ich herausbekommen, sondern ob diese Folge überhaupt einen Grenzwert hat. Wenn der nicht berechenbar ist, müssen wir eine anderes Gesetz suchen, wir müssen fragen, wer solche Gesetze geschrieben hat, wie umfangreich sie sind und welche Grenzen sie haben.

Fabian Hm, ist das von Dir?

Finja Nee, frei nach Kant, Kritik der reinen Vernunft.

Fabian Okay! Mann! Die Grenzen der 1. Folge haben wir ja, die ist nicht berechenbar.

Finja Als ich für n 1 Billion eingesetzt habe, hatte ich auch Zweifel an der ganzen Rechnung, da sind mir ethische Kriterien künstlicher Intelligenz eingefallen, davon hat mein Vater mal erzählt.

Fabian Wovon hat dein Vater gesprochen? Ethische Kriterien künstlicher Intelligenz? Mann! Macht ihr sowas beim Frühstück?

Finja Klar, mein Vater hat Home Office, das ist nicht schlecht. Prinzipien über ethische Werte und Prinzipien, die sollte man beim Programmieren von künstlicher Intelligenz beachten.

Fabian Aha! Lass mal hören!

Schlüsselfragen für ethische Werte der künstlichen Intelligenz und prinzipielle Aussagen

Finja

Wer schrieb es und wie?
Für wen ist es gemacht und was ist der Zweck?
Warum soll ich dem folgen?
Wie implementiere ich es?
Wie gehe ich mit missverständlichen Aussagen über wichtige konkurrierende Verfahren um?
Wie merkt man denn, dass ich auf dem richtigen Weg bin?
Was passiert, wenn etwas schiefgeht?
Wie kann ich abweichende Meinungen kundtun und klärende Fragen stellen?

Fabian Hey, Finja, das hört sich cool an! Echt krass! Das passt genau zu unserer Aufgabe!

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Übungsaufgabe

Teste die Konvergenz von