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Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

III_10_titel_max_lissajous

Wie sehen Handball-Lissajous-Figuren aus?

Max trainiert weiterhin Handball im Trainingslager. Er macht diese tolle Übung, wo er mit einer Hand einen Luftballon immer nach oben stupst und mit der anderen Hand einen Handball auf der Stelle dribbelt. Es ist ziemlich anstrengend, keinen runter fallen zu lassen. Er stellt fest, dass es einfacher geht, wenn er den Luftballon im „Einklang“ mit dem anderen Ball anregt. Am Abend überlegt er sich die Formeln dazu.

Luftballon

Zuerst überlegt er, wie der Luftballon fliegt. Er wird von der Höhe u_{01},\; u_{01}\;>\;0, nach oben mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v_{01} gestupst, v_{01} soll eine positive Zahl sein. Die Erdbeschleunigung g sorgt dafür, dass der Luftballon wieder nach unten kommt. Es sind dieselben Gesetze wie bei der Stufenbarren-Wurfübung.

III_10_luftballon_arnold_02-03
Die Kurve u_1(t) des Luftballons.

Wenn Max mit u_1(t) die Höhe des Luftballons in Abhängigkeit von der Zeit bezeichnet, dann wird die Kurve schnell klar:

\ddot u_1(t)\;=\;- g

\dot u_1(t)\;=\;v_{01}\;-\;gt

u_1(t)\;=\;u_{01} \;+\; v_{01}t\;-\;\frac{gt^2}{2}

Für die Zeiten t\;>\;T_1 muss er die Kurve einfach verschieben:

u_1(t)\;=\;u_{01} \;+\; v_{01}(t\;-\;T_1)\;-\;\frac{g(t\;-\;T_1)^2}{2},

für \;T_1\;<\;t\;\le\;2T_1 usw.

Der Luftballon fällt natürlich nicht beliebig nach unten, denkt Max, sondern nur bis zur Höhe u_{01}. Dort wird er wieder nach oben gestupst. Das ergibt

u_1(t)\;=\;u_{01}

genau dann, wenn

u_{01}\;=\;u_{01} \;+\; v_{01}t\;-\;\frac{gt^2}{2}

also, wenn

0\;=\;v_{01}t\;-\;\frac{gt^2}{2}

oder

t\;=\;T_1\;=\;\frac{2v_{01}}{g}

Das ist genau die die Zeitdauer einer Periode für den Luftballon. Das ging ja ganz gut. Jetzt der Handball!

Handball, Fall I

Der Handball wird von der Höhe u_{02},\;u_{02}\;>\;0, nach unten mit der Geschwindigkeit v_{02},\;v_{02}\;>\;0, geprellt und in der Höhe u_2\;=\;0 reflektiert. Wie auch beim Luftballon haben wir die Erdbeschleunigung zu berücksichtigen. u_2(t) soll die Höhe des Handballs in zeitlicher Abhängigkeit beschreiben. Max merkt schon, dass es etwas komplizierter ist. Er fängt mit dem Fall I an, in dem er den Ball prellt bis der Ball den Boden berührt. Hier gilt:

\ddot u_2(t)\;=\;- g

\dot u_2(t)\;=\;- v_{02}\;-\;gt

u_2(t)\;=\;u_{02} \;-\; v_{02}t\;-\;\frac{gt^2}{2}

für  0\;\le\;t\;\le\;\frac{T_2}{2}.

III_10_handball_arnold_06-05
Der Ansatz für die Handballkurve u_2(t).

Wie groß ist die Periode T_2? Das geht wie beim Luftballon. Max berechnet die halbe Periode \frac{T_2}{2}, das ist genau dann, wenn der Handball den Boden berührt:

u_2(t)\;=\;0

genau dann, wenn

0\;=\;u_{02} \;-\;v_{02}t\;-\;\frac{gt^2}{2}\;.

Beide Seiten mit \frac{-2}{g} multipliziert ergibt

t^2\;+\;\frac{2v_{02}}{g} t\;-\;\frac{2u_{02}}{g}\;=\;0

Jetzt kann er die p-q-Formel benutzen, die ihm Rike vor langer Zeit beigebracht hat, und kriegt

t\;=\;\frac{T_2}{2}  \;=\;\frac{-v_{02}\;\pm\; \sqrt{(v_{02})^2\;+\;2 u_{02}g}}{g}\;,

oder

T_2 \;=\;\frac{2}{g} \; (-v_{02}\;+\;\sqrt{(v_{02})^2\;+\;2 u_{02}g})\;,

weil T_2 nur als positive Zahl in diesem Zusammenhang Sinn macht, lässt er das Minus weg. Soweit, so gut. Doch wie soll er das für die Reflexion machen?

Handball, Fall II

Am einfachsten wäre es doch, den Fall II für t\;<\;0 zu betrachten. Wenn die Energieerhaltung gilt, bei einem idealen Ball zunächst mal, dann hat er bei t\;=\;0-0 ebenso die Geschwindigkeit v_{02}, nur mit einem anderen Vorzeichen:

\ddot u_2(t)\;=\;- g

\dot u_2(t)\;=\;+ v_{02}\;-\;gt

u_2(t)\;=\;u_{02} \;+\; v_{02}t\;-\;\frac{gt^2}{2}

für -\frac{T_2}{2}\;<\;t\;<\;0. Über diese Zeiten hinaus muss Max die Kurve u_2 um T_2 oder Vielfache von T_2 verschieben.

III_10_zeitl_nicht_period_arnold_04-03
Handball- (unten) und Luftballonkurve (oben) in einem Bild.

„Einklang" der Bewegungen

Als Max beim Training auf gut Glück probiert hat, kam keine regelmäßige Bewegung beider Bälle zustande. So wäre es doch gut, denkt er sich, wenn die beiden Perioden Vielfache voneinander wären:

T_1\;=\;k \cdot T_2

k … ganze, positive Zahl. In diesen Ansatz setzt er einfach die Formeln für T_1 und T_2 ein und erhält

2 k^2 u_{02}g\;=\;(v_{01})^2\;+\;2kv_{01}v_{02}

Von all den Parametern kann Max am einfachsten (in der Praxis) v_{02} bestimmen und stellt die Formel nach v_{02} um. Weil v_{01} auf jeden Fall größer Null ist, bekommt er nach Division durch v_{01}:

v_{02}\;=\;\frac{2 k^2 u_{02}g\;-\;(v_{01})^2}{2k v_{01}}

Der Zähler ist positiv, falls

2 k^2 u_{02}g\;-\;(v_{01})^2\;>\;0

oder

2 k^2 u_{02}g\;>\;(v_{01})^2

oder

\frac{u_{02}g}{ (v_{01})^2}\;>\;\frac{1}{2k^2}.

Für Max ist

u_{02}\;=\;1,2\;\mathrm{m}

und

v_{01}\;=\;4\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}},

also

\frac{2u_{02}g}{ (v_{01})^2}\;=\;1,47\;>\;\frac{1}{2k^2}.

Also kann Max k\;=\;1,\;2,\;3,\dots wählen. Er nimmt

k\;=\;1

und erhält damit

v_{02}\;=\;0,943\; \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s},

T_1\;=\;T_2\;=\;0,81\;\mathrm {s}.

Das ergibt folgendes Bild:

III_10_zeitl_period_arnold_02-03
Fall k=1,\; T_1=T_2

Das ist doch eine supereinfache Lösung, das lässt sich machen, denkt Max und freut sich auf morgen. Da fällt ihm ein, dass Überlagerungen von Schwingungen schöne Muster ergeben, sogenannte Lissajous-Figuren. Das will er dann auch noch ausprobieren.

***

Übungsaufgaben

Zeichne die Lissajous-Figuren (u_1, u_2) für einen Fall T_1\;\ne\;k\;\cdot\;T_2 und für den Fall T_1\;=\;T_2.

Lösungen

III_10_nichtperiodisch_lissajous_01-06
Handball-Lissajous-Figur für v_{01} = 4 m/s, v_{02} = 2,1 m/s.
III_10_periodisch_lissajous_01-06
Handball-Lissajous-Figur für T_1=T_2 mit den oben verwendeten Werten.