Skip to main content


Zutaten: Zucker, Kakaomasse (50%), Milchzucker, Weizenmehl, Vollmilchpulver, Magermilchpulver, Butterreinfett, Sahnepulver, Butter (1,4%)
Kann Spuren von Analysis und Geometrie enthalten.

24_II-baum_titel

Horizont als Zufallsweg II

Im Beitrag Horizont als Zufallsweg haben wir geometrische und topologische Eigenschaften der Horizontkurve untersucht. Der Horizont wurde als Weg vom linken zum rechten Bildrand verstanden. Fotografische Eigenschaften (wie Fokus, Auflösung und Objektiv) wirken sich auf die Glattheit der Kurve aus. Alle Beispiele hatten einen zusammenhängenden Weg von A nach B. Dieser Weg kann sich möglicherweise selbst berühren.

Lassen Sie uns auch jetzt nur Landschaftsfotos betrachten, die einen Horizont in diesem Sinne haben. Bei Verdeckungen wählen wir den oberen Weg. Aufgrund dieser Konstruktion haben wir Wege, die sich als Brownsche Bewegungen auffassen lassen. Diese wurden mittels ihrer Geschwindigkeit \kappa klassifiziert. In unseren Beispielen bekommen wir immer die Klasse von Wegen, die zu

0\;\le\;\kappa\;\le\;4

gehört. Das sind solche, die sich niemals selbst schneiden. Zum Beispiel hat dieser Baum die folgende Horizontlinie K_t.

24_baum_still_1_10
Horizontlinie K_t von A nach Bim Gebiet G

Betrachten wir nun statt statischer Fotos bewegte Landschaften – zum Beispiel mit einem vom Wind bewegten Baum.

 

Sei

P_t\;=\;(x(t),\;y(t))

ein Punkt auf der bewegten Geometrie auf der Horizontlinie K_t; K_t sei wieder die Horizontlinie und

k_t\;=\;(\dot{x}(t),\;\dot{y}(t))

sei der Geschwindigkeitsvektor für jeden Punkt P_t. Sei ferner v_t der Geschwindigkeitsvektor für den Wind, der zur Zeit t an P_t angreift.

Dabei können wir folgende Phänomene finden:

Einfache Linie von A nach B

Für

v_t\;\ll\;k_t

haben wir eine stetige Korrektur der ursprünglichen Kurve K_t, die weiterhin dieselben geometrischen und topologischen Eigenschaften hat.

24_baum_ani_2_07
Kurve für eine langsame Bewegung des Baumes und eine relativ schnelle Bewegung auf der Horizontlinie.

Sich selbst schneidende Linie von A nach B

Für

v_t\;\gg\;k_t

können wir eine sich selbst schneidende Kurve K_t erhalten.

24_baum_ani_1_16
Eine sich selbst schneidende Horizontlinie K_t

 

Geschlossene Linie

Bei umknickenden Bäumen können sogar geschlossene Linien K_t auftreten. Geschlossen meint hier, dass der Endpunkt der Linie wieder auf dem Horizont K_t liegt und dass diese Linie nicht zu B führt.

24_baum_bruch_1_09
Geschlossene Linie K_t

K_t verlässt G

Bei abrechenden Ästen können Linien K_t auftreten, die den Punkt B nicht erreichen und das Gebiet G verlassen.

24_baum_flug_1_09
K_t verlässt das Gebiet G

Fazit

  1. Wie schon in der Theorie der Stochastischen Loewner Evolution (SLE) von Rohde und Schramm – die ja für mikroskopische zufällige Prozesse entstand – finden wir auch in makroskopischen Modellen zufällige Erscheinungen, die sich ebenso klassifizieren lassen. Hier haben wir durch die Horizontlinie, auf der man mit einer Geschwindigkeit k_t auf einer fotografischen Projektion einer Geometrie entlanggeht und die einer äußeren Kraft v_t unterliegt – genau wie bei der SLE – einen großen Einfluss der Geschwindigkeiten (dort: \kappa).
  2. Außerdem haben wir durch die äußere Kraft erstmals in unserem Modell sich selbst schneidende Linien, was  bei der SLE einem

    4\;\lt\;\kappa\;\le\;8

    entspricht.

  3. Im Gegensatz zur SLE, wo bei größeren Geschwindigkeiten \kappa komplexere Kurven entstehen, bekommen wir solche in Landschaftsfotos uns für langsamere Geschwindigkeiten k_t und größere Geschwindigkeiten v_t der äußeren Kraft.

***

Übungsaufgabe

Gibt es Konstellationen, in denen auch der 3. Fall eintritt, sodass K_t die Fläche G ausfüllt?