Charlys Lösung der IGA-Aufgabe

Charly wundert sich, dass Rikes "seriöse" Lösung der IGA-Abiaufgabe ein anderes Ergebnis als die Musterlösung liefert. Rike hat ein regelmäßiges Muster, das die Anforderung von 6 Blumen pro m² erfüllt, gefunden und damit die gegebene Fläche zwischen den Kurven und der -Achse von knapp 30 m² ausgelegt.

02_2023_blumen_flaechen_05 — Fläche , die mit Blumen zu belegen ist. Für die Formeln von und siehe Beitrag Die IGA-Aufgabe.

Fläche , die mit Blumen zu belegen ist. Für die Formeln von und siehe Beitrag Die IGA-Aufgabe.

Bei der Musterlösung war die Fläche unabhängig von der Geometrie zu bepflanzen – aber eben nur im Mittel.

Man erhielt die Anzahl von Blumen auf von knapp 180 Blumen, genauer von

Verschiedene Bepflanzungsmöglichkeiten

03_2023_blumen_blau_ausschnitt_B_13 — Rikes Muster mit 6 Blumen/m²

Rike hat alles simuliert, berechnet und mit ihrem Muster 176 Blumen auf der Fläche erhalten. Charly überlegt, dass man Rikes Muster spiegeln könnte

03_2023_blumen_blau_ausschnitt_gespiegel_B_13 — Ein neues Muster: gespiegelt aus dem von Rike, mit 6 Blumen/m²

oder wie beim Würfel ein weiteres Muster erhält:

03_2023_blumen_blau_ausschnitt_B_6_15 — Ein weiteres Muster mit 6 Blumen/m²

Sicher gibt es noch viel mehr Möglichkeiten. Wegen der gekrümmten Geometrie der Fläche des Blumenbeetes kann es jedes Mal eine andere Anzahl von Blumen geben. Doch wie viele Blumenzwiebeln sollen nun bestellt werden? Kann man ein Minimum und ein Maximum berechnen?

Charlys Zerlegung Z₁ der Fläche

03_2023_blumen_flaechen_04 — Charlys Zerlegung der Fläche . sind die Teile, die vollständig in liegen, sind die Flächen, die teilweise in liegen.

Charlys Zerlegung der Fläche . sind die Teile, die vollständig in liegen, sind die Flächen, die teilweise in liegen.

Charly zerlegt die Fläche in Quadrate von je 1 m² und beginnt am Nullpunkt des gegebenen Koordinatensystems. Auf diese Weise erhält er 13 Quadrate, die vollständig in liegen und die er zur Fläche zusammenfasst. Außerdem erhält er 29 Quadrate, die teilweise in liegen, das ist die Fläche . Auf der Fläche wird jedes Quadrat mit 6 Blumen/m² bepflanzt, und so erhält er das absolute Minimum von Blumen, die gekauft werden müssen:

Das Maximum an Blumen erhält er, wenn er jedes nur teilweise im Beet liegende Quadrat ebenfalls mit 6 Blumen bepflanzt:

Jetzt kommt Rike dazu.

Rike Hey, Charly, was machst du?

Charlys statistischer Ansatz

Charly Hey, Rike, ich berechne die Anzahl der Blumen für das Beet unabhängig vom gewählten Muster. Ich nehme die Zufallsgröße für die Anzahl der Blumen im gegebenen Beet. Für dieses habe ich mit meiner Zerlegung hier herausgefunden, dass

ist.

Rike Ah, also doch ein statistischer Ansatz für die Analysisaufgabe?

Charly Ja, es gibt doch ziemlich viele Lösungen, und irgendwie muss man doch ausrechnen, wie viele Blumen jetzt bestellt werden sollen.

Rike Haha. Jetzt hast du ein ziemlich breites Spektrum! Bei 252 wird es auf einigen Feldern ziemlich voll, stimmt‘s?

Charly Stimmt! Doch dafür ist ja die Statistik da, ich berechne den Mittelwert!

Charlys Mittelwert

Rike Welche Verteilung nimmst du denn?

Charly Naja, ich nehme an, dass jeder Wert von gleichwahrscheinlich ist, also die diskrete Gleichverteilung. Die Wahrscheinlichkeit für jeden Wert

von kriege ich, in dem ich 1 durch die Anzahl der möglichen Werte von teile:

und den Mittelwert kann ich auch einfach berechnen:

Rikes Fazit

Rike Okay, siehst du, dass der Mittelwert auch nicht zur Musterlösung passt?

Charly Ja, das sehe ich!

Rike Siehst du auch, dass deine Zerlegung des Beetes ziemlich starr ist?

Charly Ja, das sehe ich, ich komme mir schon wie ein verblödeter Mathelehrer vor. Bei der Integralrechnung kommen auch Zerlegungen vor?

Rike Richtig. Beim Integral sollte man alle Zerlegungen prüfen.

Charly Gut. Ich habe mir überlegt, dass deine beiden Lösungen, die mit der zufälligen Bepflanzung in jedem Feld und die mit dem schrägen Muster, richtig originell und überzeugend sind und auch honoriert werden müssen.

Rike Bestehe ich jetzt doch das Matheabi?

Charly Haha, natürlich bestehst du das Abi, Rike, du hast es ja längst bestanden. Doch für meine Schülerinnen und Schüler mit solchen Ansätzen und Lösungen würde ich mich einsetzen.

Rike Toll!

***

Übungsaufgaben

Berechne die Standardabweichung für diese Zerlegung !
Welche sinnvollen Zerlegungen gibt es noch?
Welche Ergebnisse für und liefern diese?

Lösungen

1. 50.5
2. Es gibt 7 verschiedene Zerlegungen eines Einheitsquadrates mit mind. 1 Blume/Teilfläche im Mittel
  Zerlegung des Einheitsquadrates in zwei waagerechte Rechtecke mit je 3 Blumen pro halben Quadratmeter im Mittel
  Weitere Zerlegung des Einheitsquadrates in zwei senkrechte Rechtecke mit ebenfalls je 3 Blumen pro halben Quadratmeter im Mittel
  Zerlegung des Einheitsquadrates
  Zerlegung des Einheitsquadrates
  ...
  Außerdem kann die Position der Einheitsquadrate variiert werden.
3. Für die Zerlegung kann man die Flächen und bestimmen:
Flächen und für die Zerlegung
Das heißt, wie auch immer man die Blumen zu 3 Blumen je halben Quadratmeter pflanzt und das Beet in halbe Quadratmeter-Kästchen wie aufteilt, muss mindestens 117 Blumen und höchstens 234 Blumen kaufen. Im Mittel wären das 175.5 Blumen. (Die Originalaufgabe hatte 175 als Lösung)